Nghiệm của phương trình $3^{2x}=2^{x+1}$ là

Cho hai hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ có đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ như hình vẽ. Biết một hàm số là hàm số lôgarit và một hàm số là hàm số mũ.
Trong các khẳng định sau có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1) Hàm số $y=g(x)$ là một hàm số lôgarit có cơ số lớn hơn 1.
(2) Hàm số $y=f(x)$ là một hàm số mũ có cơ số lớn hơn 1.
(3) Hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ có cùng cơ số.

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2+1\right)<2$ là

Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ và $SO\perp (ABCD)$. Đường thẳng $AC$ vuông góc với mặt phẳng dưới đây?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Giá trị của $\sin \alpha$ bằng

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số $y=f(x)={\log }_{\sqrt{3}}(x-2)$ và $y=g(x)={\log }_3(x+1)$.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=AD=a$ và $A{A}^{\prime }=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Gọi $O$ và $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hai mặt phẳng đáy $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Cho các số thực dương $a,b,c$ với $a\ne 1$. Biết ${\log }_{a}b=3$ và ${\log }_{a}c=2$, khi đó biểu thức $Q={\log }_a\left(b^2.c^3\right)$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây, các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm $4\%$ diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần số lượng đã có và giả sử tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ? (kết quả quy tròn tới hàng đơn vị).

Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng danh sách các loại động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu $\%$ mỗi tháng. Sau $t$ tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức $M(t)=75-20\ln (t+1),t\ge 0$ (đơn vị $\%$). Hỏi sau khoảng bao nhiêu tháng thì nhóm học sinh đó nhớ được danh sách dưới $50\%$? (kết quả quy tròn tới hàng đơn vị).

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC,BSC=CSA=60^{\circ },BSA=90^{\circ }$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SC$. Tính số đo góc của hai đường thẳng $EF$ và $SC$. (kết quả quy tròn tới hàng đơn vị).

Trong một phòng thí nghiệm, người ta nuôi một loại vi khuẩn. Lúc đầu có 45 vi khuẩn. Sau một giờ, số lượng vi khuẩn là 270 con. Giả sử số lượng vi khuẩn tăng lên theo công thức tăng trưởng mũ, số lượng vi khuẩn sau $x$ giờ là $f(x)=C.e^{k.x}$. Khối lượng vi khuẩn có được sau 5 giờ là bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Cho $AB=SA=a$, $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Kẻ $OE\perp SA$ tại $E$.

a) Chứng minh rằng $SA\perp (BDE)$.

b) Xác định và tính số đo góc phẳng nhị diện $[B,SA,D]$.