Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=AD=a$ và $A{A}^{\prime }=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Gọi $O$ và $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hai mặt phẳng đáy $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $C(a,a,0)$, $A^{\prime }(0,0,h)$ với $h=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
a) $D{D}^{\prime }$ vuông góc mặt đáy trên nên $D{D}^{\prime }\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$ (vì $A^{\prime }{C}^{\prime }$ nằm trong mặt đáy trên). Đúng.
b) $\tan (\angle (A{O}^{\prime },(ABCD)))=\frac{h}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}/2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 40,9^{\circ }$; còn góc với mặt đáy trên: $\sin \alpha =\frac{h}{A{O}^{\prime }}=\frac{a\sqrt{6}/2}{2a}=\frac{\sqrt{6}}{4}\Rightarrow \alpha \approx 37,8^{\circ }$. Hai góc khác nhau → Sai.
c) Giao tuyến của $(C^{\prime },B^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(A,B^{\prime }{D}^{\prime })$ là $B^{\prime }{D}^{\prime }$; trung điểm $O^{\prime }$ của $B^{\prime }{D}^{\prime }$: $A{O}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $C^{\prime }{O}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$, nên góc nhị diện là $\angle A{O}^{\prime }{C}^{\prime }$. Với $\overrightarrow{O^{\prime }A}=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-h)$, $\overrightarrow{O^{\prime }{C}^{\prime }}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$ (đơn vị $a$): $\cos \angle A{O}^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{-1/2}{\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \angle A{O}^{\prime }{C}^{\prime }=120^{\circ }$ (góc nhị diện $120^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$) → Sai.
d) $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(a,a,-h)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a,0,h)$, $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0,a,h)$. $\overrightarrow{A^{\prime }C}\cdot \overrightarrow{A{B}^{\prime }}=a^2-h^2=a^2-\frac{3a^2}{2}=-\frac{a^2}{2}\ne 0$, nên $A^{\prime }C$ không vuông góc với $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ → Sai.
Kết luận: chỉ nhận định a đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$D{D}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $D{D}^{\prime }\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$ với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng đó.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc với đáy dưới: $\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 40,9^{\circ }$; góc với đáy trên: $\sin \beta =\frac{\sqrt{6}}{4}\Rightarrow \beta \approx 37,8^{\circ }$. Hai góc khác nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $A$ và $C^{\prime }$ trên $B^{\prime }{D}^{\prime }$ đều là trung điểm $O^{\prime }$, góc nhị diện $=\angle A{O}^{\prime }{C}^{\prime }=120^{\circ }\ne 30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }C}\cdot \overrightarrow{A{B}^{\prime }}=a^2-h^2=-\frac{a^2}{2}\ne 0$ nên $A^{\prime }C$ không vuông góc $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.