Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Cho $AB=SA=a$, $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Kẻ $OE\perp SA$ tại $E$.

a) Chứng minh rằng $SA\perp (BDE)$.

b) Xác định và tính số đo góc phẳng nhị diện $[B,SA,D]$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(SAC)\perp (ABCD)$ và $(SBD)\perp (ABCD)$ với giao tuyến chung là $SO$, nên $SO\perp (ABCD)$, suy ra $SO\perp OA$, $SO\perp OB$.

Tam giác $SOA$ vuông tại $O$: $O{A}^2=S{A}^2-S{O}^2=a^2-\frac{2a^2}{3}=\frac{a^2}{3}\Rightarrow OA=\frac{a}{\sqrt{3}}$, $AC=\frac{2a}{\sqrt{3}}$.

Do $ABCD$ là hình thoi nên các đường chéo vuông góc tại $O$: $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2\Rightarrow O{B}^2=a^2-\frac{a^2}{3}=\frac{2a^2}{3}$, suy ra $BD=2OB=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$.

a) $ABCD$ là hình thoi nên $BD\perp AC$; lại $BD\perp SO$ (vì $SO\perp (ABCD)$) nên $BD\perp (SAC)\Rightarrow BD\perp SA$. Mặt khác $OE\perp SA$ (giả thiết) và $BD\cap OE=O$, $BD,OE\subset (BDE)$, vậy $SA\perp (BDE)$. (đpcm)

b) Vì $SA\perp (BDE)$ nên $SA\perp EB$ tại $E$ và $SA\perp ED$ tại $E$; do đó góc phẳng nhị diện $[B,SA,D]$ là $\widehat{BED}$.

Tính $OE$: trong tam giác vuông $SOA$ ( đường cao $OE$): $OE\cdot SA=SO\cdot OA\Rightarrow OE=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}}{a}=\frac{a\sqrt{2}}{3}$; $A{E}^2=O{A}^2-O{E}^2=\frac{a^2}{3}-\frac{2a^2}{9}=\frac{a^2}{9}$.

Vì $SA\perp (BDE)$ nên $EA\perp EB$, tam giác $AEB$ vuông tại $E$: $E{B}^2=A{B}^2-A{E}^2=a^2-\frac{a^2}{9}=\frac{8a^2}{9}$; tương tự $E{D}^2=\frac{8a^2}{9}$ (do đối xứng qua $SA$).

Tam giác $BED$: $\cos \widehat{BED}=\frac{E{B}^2+E{D}^2-B{D}^2}{2EB\cdot ED}=\frac{\frac{8a^2}{9}+\frac{8a^2}{9}-\frac{8a^2}{3}}{2\cdot \frac{8a^2}{9}}=\frac{\frac{16-24}{9}}{\frac{16}{9}}=-\frac{1}{2}$.

Vậy góc phẳng nhị diện $[B,SA,D]$ là $\widehat{BED}=\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=120^{\circ }$.