Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh 4, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và $SCD$ là tam giác vuông cân tại $S$. Gọi $N$ là điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho $BN$ vuông góc với $SA$.
a) Chứng minh rằng $(SAB)\perp (SCD)$.
b) Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.BDN$.

a) Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Tính được $SI=2\sqrt{3}$, $SJ=2$, $IJ=4$. (0,25 điểm)

Do $S{I}^2+S{J}^2=I{J}^2$ suy ra $SI\perp SJ$ (1) (0,25 điểm)

Mặt khác: $\{\begin{array}{l}AB\perp SI\\ AB\perp IJ\end{array}\Rightarrow AB\perp (SIJ)\Rightarrow AB\perp SJ$ (2) [Hình cần kiểm tra lại: p9_f1] (0,25 điểm)

Từ (1) và (2) suy ra $SJ\perp (SAB)\Rightarrow (SCD)\perp (SAB)$. (0,25 điểm)

b) $AB\perp (SIJ)\Rightarrow (SIJ)\perp (ABCD)$ theo giao tuyến $IJ$.

Kẻ $SH\perp IJ$ tại $H$ suy ra $SH\perp (ABCD)$.

Gọi $E=AH\cap BN$. Ta có $\{\begin{array}{l}BN\perp SA\\ BN\perp SH\end{array}\Rightarrow BN\perp AH$. [Hình cần kiểm tra lại: p9_f2] (0,25 điểm)

Tính được $SH=\sqrt{3}$; $HI=3$ và $AH=\sqrt{13}$.

Có $△ABE$ đồng dạng với $△AHI$ nên:
$$\frac{AE}{AI}=\frac{AB}{AH}\Rightarrow AE=\frac{AB.AI}{AH}=\frac{8}{\sqrt{13}}.$$ (0,25 điểm)

Có $△ABE$ đồng dạng với $△BNC$ nên:
$$\frac{AB}{BN}=\frac{AE}{BC}\Rightarrow BN=\frac{AB.BC}{AE}=2\sqrt{13}.$$ (0,25 điểm)

Lại có: $S_{△BND}=S_{△BNC}-S_{△BDC}=\frac{1}{2}.4.6-\frac{1}{2}.4.4=4$.

Thể tích $V$ của khối chóp $S.BDN$ là $V=\frac{1}{3}.SH.S_{△BND}=\frac{1}{3}.\sqrt{3}.4=\frac{4}{3}\sqrt{3}$. (0,25 điểm)