Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt vuông góc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đề khớp Câu 63 (mệnh đề sai). Lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$; tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB\perp AC$, $AM\perp BC$.
- A đúng: $AB\perp AC$ và $AB\perp A{A}^{\prime }$ nên $AB\perp (AC{C}^{\prime })$, mà $AB\subset (AB{B}^{\prime })$ nên $(AB{B}^{\prime })\perp (AC{C}^{\prime })$.
- B sai: $(A{C}^{\prime }M)$ có giao tuyến với $(ABC)$ là $AM\subset (ABC)$ và không chứa đường thẳng nào vuông góc với $(ABC)$ (không chứa $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$), nên không vuông góc với $(ABC)$.
- C đúng: $AM\perp BC$ và $AM\perp C{C}^{\prime }$ (vì $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$) nên $AM\perp (BC{C}^{\prime })$, mà $AM\subset (AM{C}^{\prime })$ nên $(AM{C}^{\prime })\perp (BC{C}^{\prime })$.
- D đúng: $(AB{A}^{\prime })$ chứa $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $(ABC)\perp (AB{A}^{\prime })$.
Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, suy ra $A{A}^{\prime }\perp AB$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB\perp AC$. Từ đó $AB\perp (AC{C}^{\prime })$ (vì $AB$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $A{A}^{\prime }$ và $AC$ trong mặt phẳng $(AC{C}^{\prime })$). Vì $AB\subset (AB{B}^{\prime })$ nên $(AB{B}^{\prime })\perp (AC{C}^{\prime })$. Vậy mệnh đề A đúng. Các mệnh đề B, C, D không có cơ sở đúng: không có dữ kiện bảo đảm $A{C}^{\prime }\perp (ABC)$ hay $(AM{C}^{\prime })\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, và $(ABC)$ không vuông với $(C^{\prime }AM)$ vì giao tuyến $AM$ nằm trong $(ABC)$ nhưng $C^{\prime }A$ không vuông góc $(ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ cân tại $B$ với $I$ là trung điểm $AC$ nên $BI\perp AC$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BI$. Do đó $BI\perp (SAC)$, suy ra $BI\perp SC$. Mặt khác $IH\perp SC$ (vì $H$ là hình chiếu của $I$ lên $SC$), và $BI\cap IH=I$ nên $SC\perp (BIH)$. Vì $SC\subset (SBC)$ nên $(BIH)\perp (SBC)$. Vậy đáp án A đúng. Các phương án B, C, D sai vì không có cơ sở để $(SAC)\perp (SAB)$, $(SBC)\perp (ABC)$ hay $(SAC)\perp (SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$. Vì $AB\cap SA=A$ và $AB,SA\subset (SAB)$ nên $BC\perp (SAB)$. Mà $BC\subset (SBC)$, do đó $(SBC)\perp (SAB)$. Vậy đáp án D. Kiểm tra các phương án khác: $(SBC)$ không vuông với $(ABCD)$ vì giao tuyến là $BC$ mà hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A\notin BC$; $(SBC)$ và $(SCD)$ có góc giữa hai mặt phẳng khác $90^{\circ }$; $(SBC)$ và $(SAD)$ cũng không vuông góc vì $BC\parallel AD$ nên $BC$ không vuông góc $(SAD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, xét mặt phẳng $(A{B}^{\prime }C)$ chứa đường chéo $AC$ của đáy. Ta có $AC\perp BD$ (hai đường chéo của hình vuông $ABCD$) và $AC\perp B{B}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $B{B}^{\prime }\perp AC$). Từ đó $AC\perp (B^{\prime }BD)$. Vì $AC\subset (A{B}^{\prime }C)$ nên theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, $(A{B}^{\prime }C)\perp (B^{\prime }BD)$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Tam giác $SAC$ cân tại $S$ vì $SA=SC$; $O$ là tâm hình thoi nên là trung điểm $AC$. Đường trung tuyến $SO$ đồng thời là đường cao: $SO\perp AC$. Đúng.
b) Tương tự, tam giác $SBD$ cân tại $S$ ($SB=SD$) nên $SO\perp BD$. Hình thoi có $AC\perp BD$. Suy ra $BD\perp SO$ và $BD\perp AC$ với $SO,AC$ cắt nhau trong $(SAC)$, nên $BD\perp (SAC)$; vì $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. Đúng.
c) $AC\perp BD$ (hình thoi) và $AC\perp SO$ (câu a), $BD$ và $SO$ cắt nhau và cùng nằm trong $(SBD)$, nên $AC\perp (SBD)$. Đúng.
d) Góc giữa $AC$ và $SB$ phụ thuộc vào tỉ lệ hai đường chéo hình thoi và độ dài $SO$ (vị trí điểm $S$), các giả thiết không cố định giá trị này, nên không thể khẳng định bằng $60^{\circ }$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $SAC$ cân tại $S$, $O$ trung điểm $AC$ nên $SO\perp AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SO\perp BD$ và $AC\perp BD$ suy ra $BD\perp (SAC)$, mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BD$ và $AC\perp SO$, $BD\cap SO=\{O\}\subset (SBD)$ nên $AC\perp (SBD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $AC$ và $SB$ phụ thuộc kích thước hình thoi và vị trí $S$, không cố định bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
A sai vì chỉ những đường thẳng trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến mới vuông góc với mặt phẳng kia. B sai: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau (ví dụ hai tường của một căn phòng cùng vuông góc với sàn). C sai vì cùng lý do, chúng có thể cắt nhau chứ không bắt buộc song song. D đúng theo tính chất của hai mặt phẳng vuông góc: nếu $(P)\perp (Q)$ với giao tuyến $d$, đường thẳng $a\subset (P)$, $a\perp d$ thì $a\perp (Q)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $a$ không vuông góc với $(\alpha )$. Lấy điểm $A$ thuộc $a$. Qua $A$ kẻ đường thẳng $b$ vuông góc với $(\alpha )$ (nếu $a\subset (\alpha )$ thì $b$ qua $A$ vuông góc $(\alpha )$; nếu $a\not\subset (\alpha )$, gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(\alpha )$, $b=AH$). Mặt phẳng $(\beta )$ chứa $a$ và $b$ là duy nhất và $(\beta )\perp (\alpha )$ (vì chứa $b\perp (\alpha )$). Mặt phẳng bất kỳ chứa $a$ và vuông góc với $(\alpha )$ phải chứa đường vuông góc với $(\alpha )$ qua điểm $A$ thuộc $a$, tức phải chứa $b$, nên trùng với $(\beta )$. Vậy có đúng $1$ mặt phẳng. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$. Tam giác $SAC$ cân tại $S$ ($SA=SC$) có $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO\perp AC$. Tương tự, tam giác $SBD$ cân tại $S$ ($SB=SD$) nên $SO\perp BD$. Do đó $SO\perp (ABCD)$ (A đúng). Suy ra mặt phẳng $(SAC)$ chứa $SO$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$ (D đúng), và $(SBD)$ chứa $SO$ nên $(SBD)\perp (ABCD)$ (C đúng). Mệnh đề $SC\perp (SBD)$ (B) không được suy ra từ giả thiết và nói chung sai, vì nếu $SC\perp (SBD)$ thì $SC\perp SO$, mâu thuẫn với việc $SO\perp (ABCD)$ và $SC$ không nằm trong đáy. Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật, các mặt bên đều là hình chữ nhật, cạnh bên $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên kề nhau vuông góc. Tuy nhiên mặt đáy chỉ là hình chữ nhật, không nhất thiết là hình vuông. Vậy kết luận sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên mọi mặt phẳng chứa $SA$ đều vuông góc với $(ABCD)$ (định lý về mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác). Các mặt phẳng $(SAB)$, $(SAC)$, $(SAD)$ đều chứa $SA$ nên đều vuông góc với $(ABCD)$: các khẳng định A, C, D đúng. Mặt phẳng $(SBD)$ không chứa $SA$ (và không có đường thẳng nào trong $(SBD)$ được chứng minh vuông góc với đáy), nên không kết luận được $(ABCD)\perp (SBD)$. Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, đáy trên là $ABCD$, đáy dưới là $EFGH$ với $E,F,G,H$ lần lượt dưới $A,B,C,D$. Xét từng khẳng định:
- A: $(ADHE)$ và $(BCGF)$ là hai mặt bên đối diện của hình lập phương nên song song, không vuông góc. Sai.
- B: $(CDHG)$ là mặt bên chứa đường thẳng $DH\perp (ABCD)$ (vì $DH$ là cạnh bên vuông góc với đáy), mà $DH\subset (CDHG)$, giao tuyến của $(CDHG)$ và $(ABCD)$ là $CD$. Theo định lý về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng, $(CDHG)\perp (ABCD)$. Đúng.
- C: $(ACGE)$ là mặt phẳng chéo chứa $AE\perp (BCGF)$... xét góc giữa hai mặt phẳng giao tuyến $CG$: trong $(BCGF)$ đường vuông góc với $CG$ là $CB$, trong $(ACGE)$ là $CA$, góc $(CB,CA)=45^{\circ }\ne 90^{\circ }$. Sai.
- D: $(ABGH)$ là mặt phẳng chéo; với tọa độ $A(0,0,1),B(1,0,1),G(1,1,0),H(0,1,0)$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AH}=(0,1,1)$, không song song với phương thẳng đứng nên $(ABGH)$ không vuông góc $(ABCD)$. Sai.
Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0),A^{\prime }(0;0;1),B^{\prime }(1;0;1),C^{\prime }(1;1;1),D^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó $I(\frac{1}{2};\frac{1}{2};1)$, $J(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$. Vì $M\in IJ$, $MJ=5MI$ nên $\overrightarrow{MI}=\frac{1}{5}\overrightarrow{MJ}$, suy ra $M=\frac{5I+J}{6}=(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{5}{6})$.

a) Ta có $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(1;0;1)$ nên pháp tuyến của $(AC{B}^{\prime })$ là $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(1;-1;-1)$. Mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ chứa $\overrightarrow{BD}=(-1;1;0)$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(0;0;1)$ nên pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(1;1;0)$. Vì $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=1-1+0=0$ nên $(AC{B}^{\prime })\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$.

b) Với $(M{C}^{\prime }{D}^{\prime })$: $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}=(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{6})$, $\overrightarrow{M{D}^{\prime }}=(-\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{6})$, pháp tuyến $\overrightarrow{n_3}=\overrightarrow{M{C}^{\prime }}\times \overrightarrow{M{D}^{\prime }}=(0;-\frac{1}{6};\frac{1}{2})\parallel (0;-1;3)$.

Với $(MAB)$: $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{AM}=(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{5}{6})$, pháp tuyến $\overrightarrow{n_4}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AM}=(0;-\frac{5}{6};\frac{1}{2})\parallel (0;-5;3)$.

Côsin góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_3}\cdot \overrightarrow{n_4}|}{|\overrightarrow{n_3}||\overrightarrow{n_4}|}=\frac{|0+5+9|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{34}}=\frac{14}{\sqrt{340}}=\frac{7}{\sqrt{85}}=\frac{7\sqrt{85}}{85}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, $AB$ là giao tuyến của $(ABCD)$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Vì $AD\perp AB$ và $AD\subset (ABCD)$, $A{A}^{\prime }\perp AB$ và $A{A}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, nên góc giữa hai mặt phẳng là góc $\widehat{A^{\prime }AD}=90^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ đều chứa đường thẳng $A{A}^{\prime }$ (chiều cao của lập phương). Trong đáy $ABCD$ hình vuông, ta có $AC\perp BD$. Xét $BD$ nằm trong $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$: $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp BD$. Vì $BD\perp AC$ và $BD\perp A{A}^{\prime }$ với $AC,A{A}^{\prime }$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, suy ra $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$. Mà $BD\subset (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng bằng $90^0$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: $c\perp a$ và $c\perp b$ với $a\parallel b$ chỉ cho biết $c$ vuông góc với phương của $a,b$; $c$ có thể không cắt mặt phẳng $(a,b)$ nên không kết luận được $c\perp (a,b)$, do đó không thể suy ra mọi mặt phẳng chứa $c$ vuông góc với $(a,b)$.
- B đúng: Đây là định lý quen thuộc: nếu $a\perp (\alpha )$ thì mọi mặt phẳng $(\beta )$ chứa $a$ đều vuông góc với $(\alpha )$ (điều kiện đủ để hai mặt phẳng vuông góc).
- C sai: $a\perp b$ chỉ cho $a$ vuông góc với một đường thẳng $b$ trong mặt phẳng; để $a$ vuông góc với mặt phẳng chứa $b$ thì $a$ phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng đó.
- D sai: $a\subset (\alpha )$, $b\subset (\beta )$ và $a\perp b$ không đủ để kết luận $(\alpha )\perp (\beta )$ (cần $a$ vuông góc với $(\beta )$ hoặc $b$ vuông góc với $(\alpha )$).
Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Do đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA,AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$.

b) Trong tam giác $SAB$, $AH$ là đường cao nên $AH\perp SB$. Trong tam giác $SAC$, $AK$ là đường cao nên $AK\perp SC$. Ta có: $BC\perp (SAB)$ (chứng minh ở câu a) nên $BC\perp AH$. Suy ra $AH\perp SB$ và $AH\perp BC$ với $SB,BC$ cắt nhau trong $(SBC)$, do đó $AH\perp (SBC)$. Mà $AH\subset (AKH)$ nên $(SBC)\perp (AKH)$. (Điều kiện xác định: $AH$ không trùng với giao tuyến $SB$ của hai mặt phẳng, hiển nhiên đúng.)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $MNPQ.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$, mặt phẳng $(MN{N}^{\prime }{M}^{\prime })$ là một mặt bên. Các mặt phẳng tạo bởi 4 đỉnh của hình lập phương vuông góc với nó là các mặt kề với nó: $(MNPQ)$, $(M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime })$, $(MQ{Q}^{\prime }{M}^{\prime })$ và $(NP{P}^{\prime }{N}^{\prime })$. Thật vậy, $MN\perp MQ$ và $MN\perp M{Q}^{\prime }$ nên $(MNPQ)\perp (MN{N}^{\prime }{M}^{\prime })$; tương tự với ba mặt còn lại. Vậy có 4 mặt phẳng, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$, mà $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO\perp AC$. Tương tự $SB=SD$ nên $SO\perp BD$. Suy ra $SO\perp (ABCD)$ (mệnh đề B đúng). Vì $SO\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$ (mệnh đề D đúng). Vì $O\in BD$ nên $SO\subset (SBD)$, do đó $(SBD)\perp (ABCD)$ (mệnh đề C đúng). Với mệnh đề A: từ $AC\perp BD$ và $AC\perp SO$ suy ra $AC\perp (SBD)$, tức $(SAC)\perp (SBD)$; nhưng điều này không kéo theo $SA\perp (SBD)$ (để $SA\perp (SBD)$ cần $SA\perp SB$ và $SA\perp SD$, điều này không được giả thiết và không đúng trong trường hợp tổng quát). Vậy mệnh đề sai là A.