Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt vuông góc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$ (vì $BC$ nằm trong $(ABCD)$). Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$. Ta có $BC\perp SA$, $BC\perp AB$, với $SA,AB$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SAB)$ và cùng nằm trong $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Mà $BC$ nằm trong mặt phẳng $(SBC)$, theo định lý về hai mặt phẳng vuông góc (mặt phẳng chứa đường vuông góc với mặt phẳng khác thì vuông góc với mặt phẳng đó), ta được $(SBC)\perp (SAB)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Qua $M$ vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $(P)$, khi đó $d$ cũng vuông góc với $(Q)$ vì $(P)\parallel (Q)$. Mọi mặt phẳng chứa $d$ đều vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$ (định lý: mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì vuông góc với mặt phẳng đó). Qua $M$ có vô số mặt phẳng chứa $d$, nên có vô số mặt phẳng vuông góc với $(P)$ và $(Q)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$. Tam giác $SAC$ cân tại $S$ ($SA=SC$) có $O$ trung điểm $AC$ nên $SO\perp AC$. Tương tự tam giác $SBD$ cân tại $S$ ($SB=SD$) nên $SO\perp BD$. Vì $SO$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $BD$ trong mặt phẳng $(ABCD)$ nên $SO\perp (ABCD)$ → B đúng. Từ đó $(SAC)\perp (ABCD)$ (vì chứa $SO$) → D đúng, và $(SBD)\perp (ABCD)$ (vì chứa $SO$) → C đúng. Với A: $SC\perp (SBD)$ đòi hỏi $SC\perp BD$ và $SC\perp SB$, điều này không được suy ra từ giả thiết (không có dữ kiện bảo đảm $SC$ vuông góc với $BD$ hay $SB$). Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 1 (2,0 điểm)**

**a) Chứng minh $(SBC)\perp (SAB)$.**

Vì $SA\perp (ABC)$ mà $BC\subset (ABC)$ nên $SA\perp BC$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB\perp BC$.

Ta có: $BC\perp AB$, $BC\perp SA$, với $AB,SA\subset (SAB)$ và $AB\cap SA=A$, do đó $BC\perp (SAB)$.

Lại có $BC\subset (SBC)$, nên theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, ta được $(SBC)\perp (SAB)$. $■$

**b) Chứng minh $(SBM)\perp (SAC)$.**

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB=BC$, tức tam giác $ABC$ cân tại $B$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ thì $BM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, đồng thời là đường cao, nên $BM\perp AC$.

Vì $SA\perp (ABC)$ mà $BM\subset (ABC)$ nên $SA\perp BM$.

Ta có: $BM\perp AC$, $BM\perp SA$, với $AC,SA\subset (SAC)$ và $AC\cap SA=A$, do đó $BM\perp (SAC)$.

Lại có $BM\subset (SBM)$, nên $(SBM)\perp (SAC)$. $■$

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng — đó là định lý về hai mặt phẳng vuông góc: nếu $(P)\perp (Q)$ có giao tuyến $a$, $b\subset (P)$, $b\perp a$ thì $b\perp (Q)$. B sai — hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì có thể song song hoặc cắt nhau (ví dụ hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime })$ và $(A{D}^{\prime })$ của hình lập phương cùng vuông góc với mặt đáy nhưng cắt nhau theo đường thẳng $A{A}^{\prime }$), nên không nhất thiết song song. C đúng — hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau (định lý). D đúng — định lý: nếu mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng vuông góc. Vậy mệnh đề sai là B, trùng với đáp án nguồn (5B).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13.

a) Vì $ABCD$ là hình thoi nên $BD\perp AC$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Khi đó $BD\perp (SAC)$ vì $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAC)$. Mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. Đpcm.

b) Vì $\widehat{BAD}=60^{\circ }$ và $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{3}$, $BD=a$. Chọn hệ trục tọa độ: $A(0;0;0)$, $C(a\sqrt{3};0;0)$, $O\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};0;0\right)$, $B\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};-\frac{a}{2};0\right)$, $D\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};0\right)$, $S(0;0;2a)$.

$I$ là trung điểm $BC$: $I\left(\frac{3a\sqrt{3}}{4};-\frac{a}{4};0\right)$.

$\overrightarrow{SO}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};0;-2a\right)$, $\overrightarrow{DI}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{4};-\frac{3a}{4};0\right)$.

$|SO|=a\sqrt{\frac{3}{4}+4}=\frac{a\sqrt{19}}{2}$, $|DI|=a\sqrt{\frac{3}{16}+\frac{9}{16}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$\overrightarrow{SO}\cdot \overrightarrow{DI}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2}{8}$.

$\cos \theta =\frac{\frac{3a^2}{8}}{\frac{a\sqrt{19}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{2\sqrt{57}}\approx 0,1987$, suy ra góc giữa $SO$ và $DI$ xấp xỉ $79^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ và $SA\subset (SAB)$, theo định lý về quan hệ giữa mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $(SAB)\perp (ABC)$. Các khẳng định B, C, D không được suy ra trực tiếp từ giả thiết (chỉ đúng khi có thêm điều kiện về tam giác đáy). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,a√3).
a) Đúng. Vì BC⊥AB và BC⊥SA nên BC⊥(SAB) ⇒ BC⊥AH. Kết hợp AH⊥SB ⇒ AH⊥(SBC). Mà AH⊂(AHC) nên (AHC)⊥(SBC).
b) Đúng. Tương tự: CD⊥AD, CD⊥SA ⇒ CD⊥(SAD) ⇒ CD⊥AK; cùng AK⊥SD ⇒ AK⊥(SDC), mà AK⊂(AKC) nên (AKC)⊥(SDC).
c) Đúng. BD⊥AC và BD⊥SA ⇒ BD⊥(SAC) ⇒ SC⊥BD. Vì AH⊥(SBC) nên H là hình chiếu của A trên (SBC); AM⊥SC ⇒ theo định lí ba đường vuông góc HM⊥SC.
d) Sai. Phép tính: (SAC) có vtpt n₁=(1,−1,0); (SBC) có vtpt n₂=(√3,0,1). cosθ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) = √3/(√2·2) = √6/4 ≈ 0,6124 ⇒ θ ≈ 52,2° ≠ 60°.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC⊥(SAB) nên BC⊥AH; kết hợp AH⊥SB ⇒ AH⊥(SBC) ⇒ (AHC)⊥(SBC).
b) (AI giải đề cho tôi)
CD⊥(SAD) nên CD⊥AK; kết hợp AK⊥SD ⇒ AK⊥(SDC) ⇒ (AKC)⊥(SDC).
c) (AI giải đề cho tôi)
BD⊥(SAC) ⇒ SC⊥BD; H là hình chiếu của A trên (SBC), AM⊥SC ⇒ HM⊥SC (ba đường vuông góc).
d) (AI giải đề cho tôi)
cos((SBC),(SAC)) = √6/4 ≈ 0,6124 ⇒ góc ≈ 52,2° ≠ 60°.

Dễ thấy $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$. Chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, mặt đáy $(ABCD)$ vuông góc với các mặt bên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ vì chúng chứa các cạnh thẳng đứng $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ vuông góc với $(ABCD)$. Mặt phẳng $(AD{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là mặt phẳng đi qua hai đường chéo $AC$ và $D{B}^{\prime }$ (mặt chéo của hình hộp), không chứa cạnh nào vuông góc với $(ABCD)$ nên không vuông góc với $(ABCD)$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 8, Mã đề 111: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có $AC\cap BD=O$ và $BD\perp AC$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Do đó $BD\perp (SAC)$ (vì $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAC)$). Mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 10 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy = cạnh bên = a. a) Đúng: lăng trụ đều có CC' ⊥ (ABC), mà CC' ⊂ (B'BC) nên (ABC) ⊥ (B'BC). b) Đúng: CC' ⊥ (ABC) nên góc giữa CC' và (ABC) bằng 90°. c) Sai: hình chiếu của C' lên (ABC) là C, góc giữa C'B và (ABC) là góc C'BC với tan(C'BC) = CC'/BC = a/a = 1, suy ra góc bằng 45° chứ không phải 60°. d) Đúng: đặt hệ tọa độ A(0,0,0), B(1,0,0), C(1/2, √3/2, 0), A'(0,0,1), B'(1,0,1), C'(1/2, √3/2, 1). Mặt phẳng (A'B'C') có pháp tuyến n₁ = (0,0,1). Mặt phẳng (AB'C') có pháp tuyến n₂ = AB' × AC' = (−√3/2, −1/2, √3/2), |n₂| = √7/2. cos α = |n₂·n₁|/(|n₂||n₁|) = (√3/2)/(√7/2) = √(3/7), nên sin α = 2/√7 và tan α = (2/√7)/(√3/√7) = 2/√3 = 2√3/3. Khớp với đáp án nguồn: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
CC' ⊥ (ABC) và CC' ⊂ (B'BC) nên (ABC) ⊥ (B'BC).
b) (AI giải đề cho tôi)
CC' ⊥ (ABC) nên góc giữa CC' và (ABC) bằng 90°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của C' trên (ABC) là C; tan(góc C'BC) = CC'/BC = 1 nên góc bằng 45°, không phải 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ tọa độ đã chọn, cos α = √(3/7) nên tan α = 2√3/3.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có $AC\perp BD$ tại $O$ (tính chất hình thoi). Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Do đó $BD\perp SA$ và $BD\perp AC$, mà $SA,AC$ nằm trong $(SAC)$ và cắt nhau tại $A$, suy ra $BD\perp (SAC)$. Vì $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OA\perp OB$ và $OA\perp OC$ với $OB,OC$ cắt nhau tại $O$ nằm trong mặt phẳng $(OBC)$, suy ra $OA\perp (OBC)$. Mà $OA$ nằm trong mặt phẳng $(OAC)$, nên theo định lý về hai mặt phẳng vuông góc (mặt phẳng chứa đường vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc), ta có $(OAC)\perp (OBC)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. Phương án B chỉ nói hai mặt phẳng cắt nhau (mọi mặt phẳng cắt nhau đều có giao tuyến là đường thẳng, chưa chắc vuông góc). Phương án C sai vì chỉ cần có một đường thẳng trong $(P)$ vuông góc với $(Q)$, không phải mọi đường thẳng (giao tuyến nằm trong $(P)$ nhưng song song với $(Q)$). Phương án D sai vì $(P)$ chứa đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ có thể song song hoặc cắt $(Q)$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau phải cắt cả hai đường thẳng (đi qua điểm trên $a$ và điểm trên $b$), còn $d$ chỉ vuông góc với cả $a$ và $b$ thì chưa đủ (có thể không cắt chúng). B sai vì qua một điểm nằm trong mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đó (chỉ duy nhất khi điểm nằm ngoài mặt phẳng). C đúng theo định lý về hai mặt phẳng vuông góc: nếu $(\alpha )\perp (\beta )$, giao tuyến là $c$, đường thẳng $a\subset (\alpha )$, $a\perp c$ thì $a\perp (\beta )$. D sai vì trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba có thể chéo nhau hoặc cắt nhau (ví dụ các cạnh của hình lập phương). Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì SA⊥(ABCD) nên SA⊥AB; đáy là hình chữ nhật nên AB⊥AD. Suy ra AB⊥(SAD). Mà AB nằm trong (SAB) nên (SAB)⊥(SAD). Đúng.
b) AD⊥SA (vì SA⊥(ABCD)) và AD⊥CD (vì CD∥AB, AD⊥AB); AD cắt SA tại A và cắt CD tại D, nên AD là đường thẳng vuông góc chung của SA và CD. Đúng.
c) V = (1/3)·AB·AD·SA = (1/3)·a·a√3·a√2 = a³√6/3 ≠ a³√6. Sai.
d) Hình chiếu của S trên (ABCD) là A nên góc giữa SD và (ABCD) là góc SDA, tan(SDA) = SA/AD = √2/√3 ≈ 0,816, góc ≈ 39,2° ≠ 45°. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥AB (do SA⊥(ABCD)) và AB⊥AD (hình chữ nhật) nên AB⊥(SAD); vì AB⊂(SAB) nên (SAD)⊥(SAB).
b) (AI giải đề cho tôi)
AD⊥SA tại A và AD⊥CD tại D (do CD∥AB), nên AD là đường vuông góc chung của SA và CD.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = (1/3)·a·a√3·a√2 = a³√6/3, không bằng a³√6.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SD và (ABCD) là góc SDA với tan(SDA)=SA/AD=√2/√3, nên góc ≈ 39,2° ≠ 45°.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh bên $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$. Vì $A{A}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên theo định lý về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng, $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\perp (ABCD)$: đáp án A đúng. Tương tự, $A{A}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABCD)$, do đó $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$: đáp án B cũng đúng. Các phương án C, D sai vì mặt phẳng $(AB{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(AD{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ không chứa đường thẳng vuông góc với $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ (chúng không phải mặt phẳng chứa cạnh bên của hình hộp). Câu này thuộc PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM NHIỀU ĐÁP ÁN nên cả A và B đều là đáp án đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $B{B}^{\prime }\perp AB$ và $B{B}^{\prime }\perp BC$. Vì đáy vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Từ đó $BC\perp AB$ và $BC\perp B{B}^{\prime }$ (cùng thuộc $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$) suy ra $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, mà $BC\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ → C đúng. Ngoài ra $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$ và $B{B}^{\prime }\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (ABC)$ → D đúng; tương tự $B{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ → A đúng. Với $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$: mặt này chứa $A{A}^{\prime }$ vuông góc đáy, nhưng không có đường thẳng trong $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ vuông góc với $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ (góc giữa hai mặt phụ thuộc vào hình dạng tam giác, không luôn vuông) → B sai. Khớp đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AD$. Ta có: $AB\perp SA$ và $AB\subset (ABCD)$ nên $(SAB)\perp (ABCD)$ (đúng, phương án B đúng). Tương tự $AC\subset (ABCD)$, $SA\perp AC$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$ (đúng, phương án C đúng). Với hình vuông $ABCD$: $BD\perp AC$ (hai đường chéo vuông góc) và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), suy ra $BD\perp (SAC)$, mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$ (đúng, phương án D đúng). Xét phương án A: trong $(SAB)$, $AB\perp SA$ nhưng $AB$ không vuông góc với $AC$ (vì $ABCD$ là hình vuông, góc $BAC=45^{\circ }$), nên không có đường thẳng nào trong $(SAB)$ vuông góc với $(SAC)$ tại giao tuyến $SA$; nói cách khác góc giữa $(SAB)$ và $(SAC)$ không phải $90^{\circ }$. Vậy khẳng định A là khẳng định SAI, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1145, câu 1: A).