Cho hình nón đỉnh $S$, đáy là hình tròn tâm $O$, độ dài đường sinh bằng $2a$. Một mặt phẳng qua đỉnh $S$ cắt hình nón theo thiết diện là tam giác $SAB$ có diện tích lớn nhất. Biết khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ bằng $a$. Thể tích của khối nón tạo bởi hình nón trên bằng

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ với $SA=SB=2a$.
Diện tích tam giác $SAB$ là:
$S_{\Delta SAB}=\frac{1}{2}SA\cdot SB\cdot \sin \widehat{ASB}=\frac{1}{2}(2a{)}^2\sin \widehat{ASB}=2a^2\sin \widehat{ASB}\le 2a^2.$
Diện tích lớn nhất khi $\sin \widehat{ASB}=1⟺\widehat{ASB}=90^{\circ }$ (tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$).
Khi đó $AB=\sqrt{S{A}^2+S{B}^2}=\sqrt{(2a{)}^2+(2a{)}^2}=2a\sqrt{2}$.



Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, suy ra $OH\perp AB$ và theo giả thiết $OH=a$.
Trong đường tròn đáy tâm $O$, bán kính $R=OA$:
$R=\sqrt{O{H}^2+H{A}^2}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{a^2+(a\sqrt{2}{)}^2}=a\sqrt{3}.$
Chiều cao của hình nón là:
$h=SO=\sqrt{S{A}^2-R^2}=\sqrt{(2a{)}^2-(a\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4a^2-3a^2}=a.$
Thể tích của khối nón tạo bởi hình nón trên là:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi (a\sqrt{3}{)}^2\cdot a=\pi a^3.$