Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(-4;-2;4)$, cắt và vuông góc với đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-3+2t\\ y=1-t\\ z=-1+4t\end{array}$ thì phương trình của đường thẳng $\Delta$ là

Gọi $B=\Delta \cap d$. Vì $B\in d$ nên $B(-3+2t;1-t;-1+4t)$.
Véc-tơ $\overrightarrow{MB}=(2t+1;3-t;4t-5)$.
Đường thẳng $d$ có véc-tơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(2;-1;4)$.
Vì $\Delta \perp d$ nên $\overrightarrow{MB}\perp {\vec{u}}_d⟺\overrightarrow{MB}\cdot {\vec{u}}_d=0$:
$2(2t+1)-1(3-t)+4(4t-5)=0⟺4t+2-3+t+16t-20=0$
$⟺21t-21=0⟺t=1.$
Với $t=1$, ta có $\overrightarrow{MB}=(3;2;-1)$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(-4;-2;4)$ và có véc-tơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }=(3;2;-1)$ có phương trình chính tắc là:
$\frac{x+4}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-4}{-1}.$