Cho hình thang $ABCD$ với hai đáy $AB$ và $CD$. Biết rằng nếu $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|$ thì $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thang ABCD có AB ∥ CD. Giả thiết |AC| = |BD| nghĩa là hai đường chéo bằng nhau. Trong hình thang, hai đường chéo bằng nhau khi và chỉ khi hình thang cân (điều kiện này tương đương với hai cạnh bên bằng nhau). Cụ thể: đặt hệ trục với A(0;0), B(b;0), D(d;h), C(c;h) với AB ∥ CD. Ta có AC² = c² + h², BD² = (d−b)² + h². |AC| = |BD| ⟺ c² = (d−b)² ⟺ |c| = |b−d|, tức hai cạnh bên AD² = d² + h² và BC² = (c−b)² + h² bằng nhau khi c = b−d (hoặc c = d−b, trường hợp suy biến). Vậy hình thang cân nên |BC| = |AD|.
a) Đúng: giả thiết cho |AC| = |BD| nên hai đường chéo có độ dài bằng nhau.
b) Đúng: hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
c) Sai: vì hình thang cân nên hai cạnh bên AD và BC có độ dài bằng nhau (|BC| = |AD| theo kết luận của bài).
d) Đúng: đảo lại, nếu |BC| = |AD| (hai cạnh bên bằng nhau) thì hình thang cân, mà hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nên |AC| = |BD|.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giả thiết bài cho |AC| = |BD|, tức hai đường chéo AC và BD có độ dài bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân, do đó ABCD là hình thang cân.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì hình thang cân nên hai cạnh bên bằng nhau: |BC| = |AD| (đúng như kết luận của bài), do đó khẳng định hai cạnh bên không bằng nhau là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu |BC| = |AD| thì hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nên là hình thang cân; hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau, suy ra |AC| = |BD|.