Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, ta có $AC=a\sqrt{2}$ và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là góc $\widehat{BAC}=45^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos 45^{\circ }=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$. Vậy đáp án A đúng. (Cách khác: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ với $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}={\overrightarrow{AB}}^2+0=a^2$.)