Cho khối chóp $S.ABCD$ có chiều cao là $3$, $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết năm mặt của khối chóp có diện tích bằng nhau, thể tích của khối chóp là

Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD$.
Theo giả thiết, năm mặt của khối chóp có diện tích bằng nhau, do đó bốn mặt bên $SAB,SBC,SCD,SDA$ có diện tích bằng nhau và bằng diện tích đáy $ABCD$.
Vì $S_{SAB}=S_{SCD}$ và $S_{SBC}=S_{SAD}$ nên hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ cách đều hai cặp cạnh đối $AB,CD$ và $AD,BC$. Do đó hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABCD)$ chính là tâm $O$ của hình chữ nhật $ABCD$, tức là $SO\perp (ABCD)$ với $SO=3$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $OM\perp BC$ và $SM\perp BC$.
Diện tích tam giác $SBC$ bằng diện tích đáy $ABCD$:
$S_{SBC}=S_{ABCD}\iff \frac{1}{2}SM\cdot BC=AB\cdot BC\iff SM=2AB.$
Trong tam giác vuông $SOM$ vuông tại $O$, ta có:
$S{O}^2=S{M}^2-O{M}^2.$
Vì $OM=\frac{AB}{2}$, nên:
$S{O}^2=(2AB{)}^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=4A{B}^2-\frac{A{B}^2}{4}=\frac{15A{B}^2}{4}\Rightarrow A{B}^2=\frac{4S{O}^2}{15}.$
Tương tự, gọi $N$ là trung điểm của $AB$, ta cũng có $B{C}^2=\frac{4S{O}^2}{15}$.
Suy ra $AB=BC$, tức đáy $ABCD$ là hình vuông có diện tích:
$S_{ABCD}=A{B}^2=\frac{4\cdot 3^2}{15}=\frac{36}{15}=\frac{12}{5}.$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{12}{5}\cdot 3=\frac{12}{5}.$

Chọn đáp án B.