Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2-mz+m+8=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thoả mãn $|z_1(z_1^2+m{z}_2)|=(m^2-m-8)|z_2|$?

Biệt thức của phương trình bậc hai: $\Delta =(-m{)}^2-4(m+8)=m^2-4m-32$.

**Trường hợp 1:** $\Delta >0\iff m^2-4m-32>0\iff [\begin{array}{rl}m& <-4\\ m& >8.\end{array}$
Khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$.
Vì $z_1$ là nghiệm nên $z_1^2=m{z}_1-m-8$.
Suy ra:
$z_1^2+m{z}_2=m{z}_1-m-8+m{z}_2=m(z_1+z_2)-m-8.$
Theo định lý Vi-ét: $z_1+z_2=m$, nên $z_1^2+m{z}_2=m^2-m-8$.
Do $m$ là số nguyên nên $m^2-m-8\ne 0$.
Đẳng thức giả thiết trở thành:
$|z_1|\cdot |m^2-m-8|=(m^2-m-8)|z_2|.$
Điều này đòi hỏi:
$\{\begin{array}{l}{m}^2-m-8>0\\ |z_1|=|z_2|\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-m-8>0\\ z_1=-z_2\text{ (vıˋ }{z}_1\ne z_2\text{)}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-m-8>0\\ z_1+z_2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-m-8>0\\ m=0.\end{array}$
Tuy nhiên với $m=0$ thì $\Delta =-32<0$, mâu thuẫn với điều kiện $\Delta >0$. Vậy trường hợp này không có giá trị nguyên nào của $m$.

**Trường hợp 2:** $\Delta <0\iff -4<m<8$.
Khi đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp: $z_2=\overline{z_1}$.
Do đó $|z_1|=|z_2|>0$ (vì $z_1{z}_2=m+8>0$ khi $m\in (-4;8)$) và $z_1+z_2=m,z_1{z}_2=m+8$.
Ta có:
$z_1^2+m{z}_2=z_1^2+(z_1+z_2)z_2=z_1^2+z_1{z}_2+z_2^2=(z_1+z_2{)}^2-z_1{z}_2=m^2-(m+8)=m^2-m-8.$
Do đó $|z_1^2+m{z}_2|=|m^2-m-8|$.
Thay vào phương trình giả thiết:
$|z_1|\cdot |m^2-m-8|=(m^2-m-8)|z_2|\iff |m^2-m-8|=m^2-m-8\iff m^2-m-8\ge 0.$
Giải bất phương trình $m^2-m-8\ge 0$:
$m\le \frac{1-\sqrt{33}}{2}\approx -2,37\text{hoặc}m\ge \frac{1+\sqrt{33}}{2}\approx 3,37.$
Kết hợp với điều kiện $m\in (-4;8)$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được:
$m\in \{-3;4;5;6;7\}.$
Vậy có đúng 5 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án A.