Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng $\frac{a\sqrt{42}}{6}$ và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^{\circ }$. Tính thể tích $V$ của khối chóp đã cho.

Gọi cạnh đáy là $x$. Chiều cao $SO=\frac{x\sqrt{3}}{6}\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{x}{2}$. Bán kính đáy $R=OA=\frac{x\sqrt{3}}{3}$. Ta có $S{A}^2=S{O}^2+O{A}^2=\frac{x^2}{4}+\frac{x^2}{3}=\frac{7x^2}{12}$. Theo đề bài $S{A}^2=\frac{42a^2}{36}=\frac{7a^2}{6}$, suy ra $\frac{7x^2}{12}=\frac{7a^2}{6}\Rightarrow x^2=2a^2\Rightarrow x=a\sqrt{2}$. Diện tích đáy $S=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$, chiều cao $SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}S\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn D.