Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông, $AB=AC=a$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $A{A}^{\prime }$. Tính thể tích khối tứ diện $M{A}^{\prime }B{C}^{\prime }$ theo $a$.

Chọn D.
Thể tích của khối lăng trụ là:
$V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{1}{2}{a}^2\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$.
Ta có: $V_{C^{\prime }.A^{\prime }BM}=d(C^{\prime },(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }))\cdot \frac{1}{3}{S}_{A^{\prime }BM}$.
Vì $△ABC$ vuông tại $A$ nên $CA\perp AB$, mà lăng trụ đứng nên $CA\perp A{A}^{\prime }\Rightarrow CA\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Do đó khoảng cách từ $C^{\prime }$ đến $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $C^{\prime }{A}^{\prime }=a$.
Diện tích tam giác $A^{\prime }BM$ trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$:
$S_{A^{\prime }BM}=\frac{1}{2}{A}^{\prime }M\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.
Vậy thể tích khối tứ diện $M{A}^{\prime }B{C}^{\prime }$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{A^{\prime }BM}\cdot C^{\prime }{A}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{2}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.