Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AC=a,BC=2a,\widehat{ACB}=120^{\circ }$. Biết số đo góc nhị diện $\left[C^{\prime },AB,C\right]$ bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AC = a, BC = 2a, góc ACB = 120°, góc nhị diện [C', AB, C] = 60°.

a) Diện tích tam giác ABC: S = ½·AC·BC·sin120° = ½·a·2a·(√3/2) = a²√3/2. Đúng.

b) Trong mặt phẳng (ABC), AB² = a² + 4a² − 2·a·2a·cos120° = 7a² nên AB = a√7. Kẻ CH ⊥ AB tại H, do lăng trụ đứng nên C'H ⊥ AB, góc C'HC = 60°. Diện tích cho CH = (AC·BC·sin120°)/AB = (2a²·√3/2)/(a√7) = a√21/7. Khi đó CC' = CH·tan60° = (a√21/7)·√3 = 3a√7/7 ≠ a√21/7 (a√21/7 chính là CH). Sai.

c) Thể tích khối chóp C.ABC' = (1/3)·S(ABC)·CC' = (1/3)·(a²√3/2)·(3a√7/7) = a³√21/14. C'H = CH/cos60° = 2a√21/7 nên S(ABC') = ½·AB·C'H = ½·a√7·2a√21/7 = a²√3. Khoảng cách d(C,(ABC')) = 3V/S(ABC') = (3a³√21/14)/(a²√3) = 3a√7/14. Đúng.

d) Đặt hệ tọa độ: C(0,0,0), A(a,0,0), B(−a, a√3, 0), C'(0,0,h) với h = 3a√7/7. Vectơ chỉ phương u = BC = (−a, a√3, 0), v = AC' = (−a, 0, h). u×v = (a√3·h, a·h, −a²√3), |u×v| = a²√(4h² + 3a²) = a²√(36a²/7 + 21a²/7) = a²√(57a²/7). Khoảng cách = |AC·(u×v)|/|u×v| với AC = (−a,0,0): = a²√3·h/(a²√(57/7)) = √3·(3a√7/7)·√(7/57) = 3a√3/√57 = 3a/√19 = 3a√19/19. Đúng.

Kết quả khớp hoàn toàn với đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·a·2a·sin120° = a²√3/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
CH = a√21/7, nhưng CC' = CH·tan60° = 3a√7/7 ≠ a√21/7.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(C,(ABC')) = 3V/S(ABC') = 3a√7/14.
d) (AI giải đề cho tôi)
Dùng tọa độ, khoảng cách giữa BC và AC' = 3a√19/19.