Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=a\sqrt{5}$. Góc giữa cạnh $A^{\prime }B$ và mặt đáy là $60^{\circ }$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$.

Vì $A^{\prime }A\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $A^{\prime }B$ lên đáy là $AB$, góc giữa $A^{\prime }B$ và đáy là $\widehat{A^{\prime }BA}=60^{\circ }$.
Chiều cao $A^{\prime }A=AB\tan 60^{\circ }=a\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=a\sqrt{15}$.
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB\perp BC$. Lại có $A^{\prime }A\perp BC\Rightarrow BC\perp (A^{\prime }AB)$.
Kẻ $AH\perp A^{\prime }B$ tại $H$, suy ra $AH\perp (A^{\prime }BC)$.
Do đó khoảng cách từ $A$ đến $(A^{\prime }BC)$ là $AH$.
Tam giác $A^{\prime }AB$ vuông tại $A$:
$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A^{\prime }{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{15a^2}+\frac{1}{5a^2}=\frac{4}{15a^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{15}}{2}$.