Cho lăng trụ tam giác $MNP.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $MN$ và $M^{\prime }{N}^{\prime }$. Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Xét lăng trụ tam giác $MNP.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }$, với $I$ là trung điểm $MN$, $J$ là trung điểm $M^{\prime }{N}^{\prime }$.

a) $IJ$ nối trung điểm hai đoạn $MN$ và $M^{\prime }{N}^{\prime }$, mà $M{M}^{\prime }{N}^{\prime }N$ là hình bình hành nên $IJ\parallel M{M}^{\prime }$ (và $IJ=\frac{1}{2}M{M}^{\prime }$). Vì $M{M}^{\prime }$ không song song với $M{P}^{\prime }$ nên $IJ$ không song song $M{P}^{\prime }$. → Sai.

b) $(MNP)$ và $(M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime })$ là hai mặt đáy của lăng trụ nên song song với nhau. → Đúng.

c) Mặt phẳng $(I{P}^{\prime }J)$ đi qua $P^{\prime }$, mà $P^{\prime }\in P{P}^{\prime }$, nên $P{P}^{\prime }$ cắt mặt phẳng $(I{P}^{\prime }J)$ tại $P^{\prime }$ (không thể song song vì đường thẳng có một điểm thuộc mặt phẳng). → Sai.

d) Đáp án chính thức mã đề 1101 (câu 13: SDSS) cho d) Sai. Tuy nhiên phân tích hình học cho thấy: $PJ\subset (P{M}^{\prime }{N}^{\prime })$ (vì $P\in (P{M}^{\prime }{N}^{\prime })$, $J\in M^{\prime }{N}^{\prime }\subset (P{M}^{\prime }{N}^{\prime })$) và $P^{\prime }I\subset (P^{\prime }M{N}^{\prime })$ (vì $P^{\prime }\in (P^{\prime }M{N}^{\prime })$, $I\in MN\subset (P^{\prime }M{N}^{\prime })$). Với tọa độ $M=(0,0,0),N=(2,0,0),P=(0,2,0),M^{\prime }=(0,0,2),N^{\prime }=(2,0,2),P^{\prime }=(0,2,2)$, ta có $I=(1,0,0)$, $J=(1,0,2)$; $PJ$ và $P^{\prime }I$ cắt nhau tại $(\frac{1}{2},1,1)$, điểm thuộc cả hai mặt phẳng, nên giao tuyến đi qua giao điểm này — d) có vẻ Đúng, mâu thuẫn với đáp án chính thức. Giữ đáp án chính thức d) Sai và báo cáo mâu thuẫn.

Khớp với đáp án mã đề 1101: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$IJ$ là đoạn nối trung điểm của $MN$ và $M^{\prime }{N}^{\prime }$ trong hình bình hành $M{M}^{\prime }{N}^{\prime }N$ nên $IJ\parallel M{M}^{\prime }$, không song song với $M{P}^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(MNP)$ và $(M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime })$ là hai mặt đáy của lăng trụ nên song song với nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $P^{\prime }\in (I{P}^{\prime }J)$ và $P^{\prime }\in P{P}^{\prime }$ nên $P{P}^{\prime }$ cắt mặt phẳng $(I{P}^{\prime }J)$ tại $P^{\prime }$, không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
Lưu ý quan trọng: đáp án chính thức của mã đề 1101 (bảng đáp án, câu 13) là SDSS, tức d) Sai, nên isCorrect được giữ theo nguồn. Tuy nhiên cần báo cáo mâu thuẫn: về mặt hình học, $J\in M^{\prime }{N}^{\prime }\subset (P{M}^{\prime }{N}^{\prime })$ nên $PJ\subset (P{M}^{\prime }{N}^{\prime })$; $I\in MN\subset (P^{\prime }M{N}^{\prime })$ nên $P^{\prime }I\subset (P^{\prime }M{N}^{\prime })$. Kiểm tra bằng tọa độ với $M=(0,0,0),N=(2,0,0),P=(0,2,0),M^{\prime }=(0,0,2),N^{\prime }=(2,0,2),P^{\prime }=(0,2,2)$ thì $I=(1,0,0)$, $J=(1,0,2)$; đường $PJ$: $(t,2-2t,2t)$ và đường $P^{\prime }I$: $(s,2-2s,2-2s)$ cắt nhau tại $(\frac{1}{2},1,1)$. Điểm này thuộc cả hai mặt phẳng (vì nằm trên $PJ\subset (P{M}^{\prime }{N}^{\prime })$ và trên $P^{\prime }I\subset (P^{\prime }M{N}^{\prime })$), nên giao tuyến của hai mặt phẳng đi qua giao điểm của $PJ$ và $P^{\prime }I$, tức d) có vẻ Đúng — mâu thuẫn với đáp án chính thức SDSS. Vì đáp án chấm điểm là nguồn bắt buộc nên giữ d) Sai và ghi nhận mâu thuẫn này.