Cho một tấm nhôm hình chữ nhật $ABCD$ có $AD$ dài 60 cm. Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh $MN$ và $PQ$ vào phía trong đến khi $AB$ và $DC$ trùng nhau (như hình vẽ dưới đây) để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm $x$ để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.

[Hình cần kiểm tra lại: p18_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Sau khi gập theo hai cạnh $MN$ và $PQ$ (với $AN=PD=x$), thiết diện vuông góc với các cạnh gấp là tam giác cân có hai cạnh bên bằng $x$ và cạnh đáy $NP=60-2x$ (đỉnh là điểm trùng của $A$ và $D$). Chiều cao của lăng trụ bằng $AB$ (không đổi), nên thể tích lớn nhất khi diện tích tam giác thiết diện lớn nhất.

Chiều cao của tam giác: $h=\sqrt{x^2-(30-x{)}^2}=\sqrt{60x-900}$, với điều kiện $15<x<30$.

Diện tích thiết diện: $S(x)=\frac{1}{2}(60-2x)\sqrt{60x-900}=(30-x)\sqrt{60x-900}$.

Xét $f(x)=S(x{)}^2=(30-x{)}^2(60x-900)$. Đặt $t=30-x\in (0;15)$, khi đó $60x-900=60(15-t)$, nên $f=60t^2(15-t)$.

$f^{\prime }(t)=60t(30-3t)=180t(10-t)=0\Rightarrow t=10$ (vì $0<t<15$).

Tại $t=10$: $f$ đạt giá trị lớn nhất (dấu đạo hàm đổi từ $+$ sang $-$). Suy ra $x=30-10=20$ cm (thỏa mãn $15<x<30$).

Vậy $x=20$ cm để thể tích khối lăng trụ lớn nhất. Khi đó thiết diện là tam giác đều cạnh 20 cm.