Cho phương trình ${\log }_2^{2}x-2{\log }_{2}x-\sqrt{m+{\log }_{2}x}=m(\ast )$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $[-2019;2019]$ để phương trình $(\ast )$ có nghiệm?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{2}x$ ($t\in \mathbb{R}$), phương trình thành $h(t)=t^2-2t-m-\sqrt{m+t}=0$ với điều kiện $t\ge -m$.

Ta tìm điều kiện để $h(t)=0$ có nghiệm với $t\ge -m$.

• Với $m\in [-1;0]$: tại $t=-m$ có $h(-m)=m^2+m=m(m+1)\le 0$, mà $h(t)\to +\infty$ khi $t\to +\infty$, nên phương trình có nghiệm. Cụ thể $m=0$ cho nghiệm $t=0$ ($x=1$), $m=-1$ cho nghiệm $t=1$ ($x=2$).

• Với $m\ge 1$: $h(-m)=m(m+1)>0$ nhưng $h(1)=1-2-m-\sqrt{m+1}=-(m+1)-\sqrt{m+1}<0$, và $-m<1$, nên theo định lý giá trị trung gian tồn tại nghiệm $t\in (-m;1)$. Vậy mọi $m\ge 1$ đều cho phương trình có nghiệm.

• Với $m\le -2$ (đặt $M=-m\ge 2$): với $t\ge M$, $h(M)=M^2-M>0$. Xét $s=t-M\ge 0$: $h\approx M^2-M+(2M-2)s-2\sqrt{s}$. Thành phần $(2M-2)s-2\sqrt{s}$ có giá trị nhỏ nhất bằng $-\frac{1}{2M-2}>-1$, nên $h(t)\ge M^2-M-\frac{1}{2M-2}>0$ với mọi $t\ge M$. Do đó không có nghiệm khi $m\le -2$.

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\in \{-1\}\cup \{0\}\cup \{1,2,\dots \}$. Trong $[-2019;2019]$, các giá trị nguyên là $m=-1,0,1,\dots ,2019$, tổng cộng $2+2019=2021$ giá trị.

Đáp án C.