Bạn Hiền tìm mua được các miếng dán cùng loại, cùng màu và có cùng kích thước $1m\times 3m$ dùng để trang trí kín một mảng tường hình chữ nhật có kích thước là $3\times n$ (với $n$ là số nguyên dương, các kích thước có đơn vị đo là mét). Mỗi miếng dán có thể dán ngang hoặc dọc sao cho đảm bảo không có miếng dán nào bị cắt và không có miếng dán nào chồng lên nhau. (Miếng dán và mảng tường cần trang trí có dạng như hình vẽ).

[Hình cần kiểm tra lại: p6_f1]

Mảng tường hình chữ nhật kích thước $3\times n$

(AI giải đề cho tôi)
Bài toán lát mảng tường $3\times n$ bằng các miếng dán $1\times 3$ (dọc hoặc ngang). Gọi $f(n)$ là số cách lát. Xét phần cuối mảng tường: nếu đặt 1 miếng dọc chiếm cột thứ $n$ thì còn $f(n-1)$ cách; nếu dùng miếng ngang thì phải đặt 3 miếng ngang xếp kín 3 cột cuối (cách duy nhất) còn $f(n-3)$ cách. Vậy $f(n)=f(n-1)+f(n-3)$, với $f(0)=1,f(1)=1,f(2)=1$. Tính: $f(3)=2,f(4)=3,f(5)=4,f(6)=6,f(7)=9,f(8)=13,f(9)=19,f(10)=28,f(11)=41,f(12)=60,f(13)=88,f(14)=129$. a) $3\times 3$: dùng 3 miếng, chỉ 2 cách (cả dọc hoặc cả ngang) → đúng. b) $3\times 2$: $f(2)=1$, chỉ cách dọc cả hai miếng → đúng. c) $3\times 14$: $f(14)=129$ → đúng. d) $3\times 6$: $f(6)=6\ne 4$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mảng $3\times 3$ cần đúng 3 miếng dán. Nếu dọc cả 3: 1 cách; nếu ngang cả 3 (xếp 3 miếng ngang ở 3 hàng): 1 cách. Không có cách trộn vì một miếng ngang chiếm trọn chiều rộng 3m ở một hàng. Vậy $f(3)=2$ cách → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mảng $3\times 2$: miếng ngang cần chiều dài 3m > 2m nên không dùng được; chỉ có thể đặt 2 miếng dọc → đúng 1 cách, $f(2)=1$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(n)=f(n-1)+f(n-3)$, $f(0)=f(1)=f(2)=1$: $f(3)=2,f(4)=3,f(5)=4,f(6)=6,f(7)=9,f(8)=13,f(9)=19,f(10)=28,f(11)=41,f(12)=60,f(13)=88,f(14)=88+41=129$ → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(6)=f(5)+f(3)=4+2=6$ cách, không phải 4 → sai.