Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+2z+1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$. Hai mặt phẳng $(P)$, $(P^{\prime })$ chứa $d$ và tiếp xúc với $(S)$ tại $T$, $T^{\prime }$. Tìm tọa độ trung điểm $H$ của $T{T}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=1$ có tâm $I(1;0;-1)$, bán kính $R=1$. Đường thẳng $d$ đi qua $A(0;2;0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}(1;1;-1)$. Mặt phẳng chứa $d$ có dạng $ax+by+cz+D=0$ với điều kiện chứa $\vec{u}$: $a+b-c=0$ tức $c=a+b$, và qua $A$: $D=-2b$. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng bằng $R$: $\frac{|a-c+D|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=1\Rightarrow \frac{|-3b|}{\sqrt{a^2+b^2+(a+b{)}^2}}=1\Rightarrow 2a^2+2ab-7b^2=0$. Đặt $t=a/b$: $2t^2+2t-7=0$ có hai nghiệm $t_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{15}}{2}$, nên $t_1+t_2=-1$. Với mỗi nghiệm, $|\vec{n}{|}^2=t^2+1+(t+1{)}^2=2t^2+2t+2=9$ nên $|\vec{n}|=3$. Hai pháp tuyến đơn vị là ${\hat{n}}_i=\frac{1}{3}(t_i;1;t_i+1)$, tổng ${\hat{n}}_1+{\hat{n}}_2=\frac{1}{3}(t_1+t_2;2;t_1+t_2+2)=\frac{1}{3}(-1;2;1)$. Tọa độ tiếp điểm $T=I+\hat{n}$ (xét dấu giá trị tại $I$: giá trị $-3b$ nên tiếp điểm $T=I+\mathrm{sgn}(b)\hat{n}$), do đó trung điểm $H=I+\frac{{\hat{n}}_1+{\hat{n}}_2}{2}=\left(1;0;-1\right)+\frac{1}{6}(-1;2;1)=\left(\frac{5}{6};\frac{1}{3};-\frac{5}{6}\right)$. Kết quả khớp phương án D.