Cho phương trình $2^m\cdot 2^{{\sin }^{2}x}+m-{\cos }^{2}x=8\cdot 4^{\cos x}+2(\cos x+1)$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm thực là

Chọn D.
Phương trình đã cho tương đương $2^{m+{\sin }^{2}x}+m+{\sin }^{2}x=2^{2\cos x+3}+2\cos x+3(\ast )$.
Xét hàm số $f(x)=2^x+x$, ta có $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2+1>0,\forall x$.
Khi đó $(\ast )\iff f(m+{\sin }^{2}x)=f(2\cos x+3)\iff m+{\sin }^{2}x=2\cos x+3\iff m={\cos }^{2}x+2\cos x+2\iff m=(\cos x+1{)}^2+1$.
Phương trình đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi $1\le m\le 5$.
Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm thực là $5$.