Cho phương trình lượng giác $\cot 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (1). Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\cos (-\pi /3)}{\sin (-\pi /3)}=\frac{1/2}{-\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên phương trình $\cot 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ tương đương $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{3}\right)$, suy ra $3x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.
a) SAI vì $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$; đúng phải là $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{3}\right)$.
b) SAI vì nghiệm đúng là $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$; thay $x=\frac{\pi }{9}$ ta được $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) SAI vì nghiệm âm lớn nhất là $x=-\frac{\pi }{9}$ (k=0), không phải $-\frac{2\pi }{9}$.
d) ĐÚNG vì các nghiệm trong $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ là $x=-\frac{\pi }{9}$ (k=0) và $x=-\frac{4\pi }{9}$ (k=-1); với k=-2, $x=-\frac{7\pi }{9}<-\frac{\pi }{2}$ (loại). Tổng bằng $-\frac{\pi }{9}-\frac{4\pi }{9}=-\frac{5\pi }{9}$.
a) Ta có $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)}{\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Đúng phải là $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{3}\right)$ vì $\cot \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Vậy mệnh đề a) SAI.
b) Từ $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{3}\right)\Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$. Thay $x=\frac{\pi }{9}$: $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Vậy mệnh đề b) SAI.
c) Nghiệm tổng quát $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$. Với $k=0$: $x=-\frac{\pi }{9}$ là nghiệm âm lớn nhất, không phải $-\frac{2\pi }{9}$. Vậy mệnh đề c) SAI.
d) Với $k=0$: $x=-\frac{\pi }{9}\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$; với $k=-1$: $x=-\frac{4\pi }{9}\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$; với $k=-2$: $x=-\frac{7\pi }{9}<-\frac{\pi }{2}$ (loại). Tổng $=-\frac{\pi }{9}-\frac{4\pi }{9}=-\frac{5\pi }{9}$. Vậy mệnh đề d) ĐÚNG.