Cho số nguyên dương $n$. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ khác hằng, chỉ có nghiệm thực và thỏa mãn đẳng thức sau với mọi $x\in \mathbb{R}$:
$$16^{n}P\left(\frac{x^3+3x}{4}\right)={\left(x^4+7x^2+16\right)}^{n}P(x).$$

Cách 1. Gọi $m=\mathrm{deg}P⩾1$ và $c$ là hệ số cao nhất của $P$.
So sánh bậc hai vế của đẳng thức, ta được $3m=m+4n$ nên $m=2n$.
Ta có $x^4+7x^2+16>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Do đó từ đề bài ta có được:
$$P(x)=0⟺P\left(\frac{x^3+3x}{4}\right)=0.$$
Đặt $f(x)=\frac{x^3+3x}{4}$ trên $\mathbb{R}$. Lấy một nghiệm thực $r$ của $P$. Nếu $f(r)>r$ thì, do $f$ đồng biến nên
$$r<f(r)<f(f(r))<\cdots ,$$
hay $P$ có vô hạn nghiệm, vô lý. Tương tự, nếu $f(r)<r$ cũng có điều vô lý, do đó $f(r)=r$. Ta có
$$\frac{r^3+3r}{4}=r⟺r(r^2-1)=0,$$
nên mọi nghiệm của $P$ đều thuộc $\{-1,0,1\}$.
Vì $P$ chỉ có nghiệm thực và có bậc $2n$, tồn tại các số nguyên không âm $\alpha ,\beta ,\gamma$ với $\alpha +\beta +\gamma =2n$ sao cho
$$P(x)=c{x}^{\alpha }(x-1{)}^{\beta }(x+1{)}^{\gamma },c\ne 0.$$
Thay vào đẳng thức ban đầu để suy ra được:
$$(x^2+3{)}^{\alpha }(x^2+x+4{)}^{\beta }(x^2-x+4{)}^{\gamma }=(x^4+7x^2+16{)}^n,\forall x\in \mathbb{R}.$$
Mà $x^4+7x^2+16=(x^2+x+4)(x^2-x+4)$, và $x^2+3$, $x^2+x+4$, $x^2-x+4$ là các đa thức đối một bất khả quy trên $\mathbb{R}[x]$. Do đó $\alpha =0$ và $\beta =\gamma =n$. Vậy $P(x)=c(x^2-1{)}^n$ với $c\ne 0$.
Thử lại để thấy được tất cả các đa thức thoả mãn yêu cầu đề bài là $P(x)\equiv c(x^2-1{)}^n$ với $c\ne 0$.

Cách 2. (không sử dụng điều kiện chỉ có nghiệm thực)
Đặt $\mathrm{deg}P=k$. Vì $P$ khác hằng nên $k>0$. So sánh bậc hai vế suy ra $k=2n$.
Gọi $C\ne 0$ là hệ số cao nhất của $P$ và đặt $P(x)=C(x^2-1{)}^n+Q(x)$.
Để ý $Q\equiv 0$ thoả mãn, xét $Q\not\equiv 0$, khi đó $\mathrm{deg}Q=d<2n$.
Thay vào đẳng thức ban đầu suy ra $16^{n}Q\left(\frac{x^3+3x}{4}\right)=(x^4+7x^2+16{)}^{n}Q(x)$.
So sánh bậc hai vế của đẳng thức trên, ta có $3d=4n+d$, suy ra $d=2n$, mâu thuẫn với $\mathrm{deg}Q<2n$.
Thử lại suy ra tất cả các đa thức cần tìm là $P(x)\equiv C(x^2-1{)}^n$ với $C\ne 0$.