Tìm tất cả các số thực $a,b$ để tồn tại hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ khác hằng và thỏa mãn
$$f\left(a{x}^3+y^2\right)=f\left(b{y}^3+x^2\right),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Trước hết, nếu $a=b=0$ thì điều kiện trở thành $f(y^2)=f(x^2)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$.
Để ý hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ khác hằng sau thoả mãn: $f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x⩾0,\\ 1,& x<0.\end{array}$
Vậy $(a,b)=(0,0)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ta chứng minh mọi trường hợp còn lại đều buộc $f$ là hàm hằng.
Nếu $a=0$ và $b\ne 0$ thì $f(y^2)=f(b{y}^3+x^2)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$.
Thay $y=0$ cho ta $f(x^2)=0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ hay $f(x)=0$ với mọi $x\ge 0$.
Do đó $f(b{y}^3+x^2)=0$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$, thay $x=0$ thì $f(b{y}^3)=0,\forall y\in \mathbb{R}$, và vì $b\ne 0$ nên $f(x)=0$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Cuối cùng, giả sử $ab\ne 0$. Lấy $u,v\in \mathbb{R}$ bất kì, ta sẽ chứng minh hệ phương trình sau có nghiệm $(x,y)$:
$$\{\begin{array}{l}a{x}^3+y^2=u\\ b{y}^3+x^2=v\end{array}$$
Ta có $x=\sqrt[3]{\frac{u-y^2}{a}}$, nên $b{y}^3+\sqrt[3]{\frac{(u-y^2{)}^2}{a^2}}=v$.
Xét hàm $g(t)=b{t}^3+\sqrt[3]{\frac{(u-t^2{)}^2}{a^2}}$ trên $\mathbb{R}$, ta sẽ chứng minh $g$ là toàn ánh trên $\mathbb{R}$.
Để ý $g$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, và khi $x\to +\infty$ thì $g$ cùng dấu với $b$, và khi $x\to -\infty$ thì $g$ ngược dấu với $b$, do đó theo định lý giá trị trung gian suy ra được $g$ là toàn ánh trên $\mathbb{R}$.
Vì vậy phương trình $g(y)=v$ luôn có nghiệm $y\in \mathbb{R}$, do đó hệ phương trình trên có nghiệm $(x,y)$.
Từ đó ta suy ra được $f(u)=f(v)$ với mọi $u,v\in \mathbb{R}$ nên $f$ là hàm hằng.
Vậy tồn tại duy nhất cặp số thực $(a,b)=(0,0)$ để tồn tại hàm $f$ khác hằng.