Câu 6THPT
Thuộc đề: Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi Học sinh giỏi Quốc gia THPT - Trường ĐH Vinh - Môn ToánCho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi là trung điểm của , đường kính của cắt tại . Tiếp tuyến tại , của cắt nhau ở , cắt tại điểm thứ hai là . Gọi là tâm của đường tròn .
a) Chứng minh rằng các đường thẳng , , đồng quy.
b) Đường tròn cắt tại điểm thứ hai là , cắt tại . Chứng minh rằng ba đường tròn , , cùng đi qua một điểm khác .
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi là trung điểm của , đường kính của cắt tại . Tiếp tuyến tại , của cắt nhau ở , cắt tại điểm thứ hai là . Gọi là tâm của đường tròn .
a) Chứng minh rằng các đường thẳng , , đồng quy.
b) Đường tròn cắt tại điểm thứ hai là , cắt tại . Chứng minh rằng ba đường tròn , , cùng đi qua một điểm khác .
a) Chứng minh rằng các đường thẳng , , đồng quy.
b) Đường tròn cắt tại điểm thứ hai là , cắt tại . Chứng minh rằng ba đường tròn , , cùng đi qua một điểm khác .
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Kẻ đường kính của thẳng hàng.
Ta có .
Gọi cắt tại , theo hàng điểm tiếp tuyến cắt tuyến ta có , mà chia đôi thẳng hàng.
b) Do tứ giác nội tiếp nên nội tiếp. Gọi cắt tại nằm trên trục đẳng phương của , , . Mà 3 đường tròn này cùng đi qua nên 3 đường tròn này đồng trục, điều phải chứng minh.
Ta có .
Gọi cắt tại , theo hàng điểm tiếp tuyến cắt tuyến ta có , mà chia đôi thẳng hàng.
b) Do tứ giác nội tiếp nên nội tiếp. Gọi cắt tại nằm trên trục đẳng phương của , , . Mà 3 đường tròn này cùng đi qua nên 3 đường tròn này đồng trục, điều phải chứng minh.