Cho số nguyên $n\ge 2$ và một bảng vuông kích thước $3n\times 3n$ (gồm $9n^2$ ô vuông đơn vị). Một quân cờ $T$ được đặt ở một ô nào đó trên bảng và di chuyển như sau: mỗi bước đi quân cờ $T$ hoặc di chuyển lên trên một ô, hoặc sang phải một ô hoặc đi chéo xuống-sang trái một ô (như hình minh họa bên dưới, mỗi bước đi thực chất chỉ di chuyển sang một ô chung đỉnh). Xuất phát từ ô đó, quân cờ $T$ thực hiện một số bước đi và không bao giờ đi qua một ô hai lần, rồi quay trở lại ô xuất phát. Xác định số bước đi lớn nhất có thể mà quân cờ $T$ đã thực hiện.

Đặt $m=3n$. Ta đánh số các ô bởi $(i,j)$, trong đó $1\le i,j\le m$, chỉ số $i$ tăng từ trái sang phải và chỉ số $j$ tăng từ dưới lên trên và $L$ là số bước đi.
(1) Trong một hành trình khép kín, gọi $R,U,D$ lần lượt là số bước sang phải, đi lên và đi chéo xuống-sang trái. Để ý $R-D=U-D=0$ nên $R=U=D$ và số bước đi luôn là một bội của 3.
Ta chứng minh quân cờ không thể đi qua cả $m^2$ ô. Giả sử ngược lại. Nối tâm các ô liên tiếp trong hành trình, ta được một đa giác đơn nằm trong hình chữ nhật có bốn đỉnh là tâm của ô góc bảng.
Tại ô góc dưới bên phải $(m,1)$, bước đi vào duy nhất có thể là từ $(m-1,1)$ sang phải và bước đi ra duy nhất có thể là đi lên $(m,2)$. Vì thế, theo chiều đi của hành trình, đa giác quay ngược chiều kim đồng hồ tại đỉnh này. Trái lại, tại ô góc trên bên trái $(1,m)$, hành trình buộc phải đi vào từ $(1,m-1)$ rồi đi ra sang phải tới $(2,m)$, nên đa giác quay theo chiều kim đồng hồ.
Điều này là không thể, bởi tại các đỉnh thuộc bao lồi của một đa giác đơn, chiều quay phải thoả mãn việc tất cả đều ngược chiều kim đồng hồ nếu đa giác được định hướng dương, và tất cả đều theo chiều kim đồng hồ nếu đa giác được định hướng âm.
Vậy hành trình không thể đi qua toàn bộ $m^2$ ô.
Vì $m^2=9n^2$ chia hết cho 3 và số bước là một bội của 3, ta có số bước không vượt quá $m^2-3$.
(2) Trước hết, trong ba cột đầu tiên ta xét hành trình
$$(1,1)\to (2,1)\to (3,1)\to (3,2)\to \cdots \to (3,m)$$
$$\to (2,m-1)\to (1,m-2)\to (2,m-2)\to (1,m-3)\to (2,m-3)\to \cdots$$
$$\to (1,2)\to (2,2)\to (1,1).$$
Ở phần có dấu ba chấm trên dòng thứ hai, ta luân phiên một bước sang phải và một bước chéo xuống-sang trái. Chu trình này đi qua mọi ô trong ba cột đầu, trừ đúng ba ô $(1,m-1)$, $(1,m)$, $(2,m)$ và nó chứa cạnh đi lên $(3,m-2)\to (3,m-1)$.
Bây giờ giả sử ta đã có một chu trình đi qua các cột từ 1 đến $c$, trong đó $c=3t$, vẫn chỉ bỏ ba ô trống, đồng thời chu trình chứa cạnh $(c,m-2)\to (c,m-1)$, ta thay cạnh này bởi đường đi sau:
$$(c,m-2)\to (c+1,m-2)\to (c+2,m-2)$$
$$\to (c+1,m-3)\to (c+2,m-3)\to \cdots \to (c+1,1)\to (c+2,1)$$
$$\to (c+3,1)\to (c+3,2)\to \cdots \to (c+3,m)$$
$$\to (c+2,m-1)\to (c+2,m)\to (c+1,m-1)\to (c+1,m)\to (c,m-1).$$
Đường đi vừa viết đi qua mỗi ô của ba cột mới $c+1,c+2,c+3$ đúng một lần và chứa cạnh
$$(c+3,m-2)\to (c+3,m-1),$$
nên ta có thể tiếp tục lặp lại phép ghép. Bắt đầu từ $c=3$ và thực hiện $n-1$ lần, ta thu được một chu trình trên cả $m=3n$ cột, chỉ bỏ đúng ba ô trống, hành trình này có $m^2-3=9n^2-3$ bước.
Hình vẽ dưới đây minh họa quá trình trên với $n=2$ và $n=3$:



Vậy số bước đi lớn nhất mà quân cờ $T$ thực hiện là $9n^2-3$ bước.