Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i) Số lượng các ước số dương của $n$ là một số chẵn;
(ii) Tập tất cả các ước số dương của $n$ có thể chia thành từng cặp phân biệt (mỗi ước số chỉ xuất hiện trong một cặp), sao cho tổng của hai số trong mỗi cặp là một lũy thừa của 3.

Nếu hai ước $x,y$ được ghép thành một cặp thì $x+y=3^k$, khi đó $v_3(x)=v_3(y)$.
Mọi lũy thừa của 3 xuất hiện ở đây đều lẻ, nên mỗi cặp gồm đúng một ước lẻ và một ước chẵn.
Viết $n=3^{a}m=2^s{3}^{a}u$ với $a$ là số tự nhiên và $m$ nguyên dương không chia hết cho 3, $u$ lẻ và $\gcd (u,3)=1$.
Số ước lẻ của $n$ là $(a+1)\tau (u)$ còn số ước chẵn của $n$ là $s(a+1)\tau (u)$ nên $s=1$.
Do đó $m=2u$ với $\gcd (u,6)=1$.
Vì hai ước được ghép với nhau có cùng $v_3$ nên tập các ước của $n$ không chia hết cho 3 được ghép cặp bên trong chính nó, và các ước này chính là của $2u$.
Các ước lẻ của $2u$ có dạng $d$ với $d\mid u$, còn các ước chẵn có dạng $2e$ với $e\mid u$, do đó tồn tại một hoán vị $f$ của tập các ước dương của $u$ sao cho $d+2f(d)$ là lũy thừa của 3 với mọi $d\mid u$.
Ta sẽ chứng minh $u$ là số square-free.
Lấy một số nguyên tố $p\mid u$. Trong các ước của $u$, số ước chia hết cho $p$ là $\frac{v_p(u)}{v_p(u)+1}\tau (u)$.
Trong một cặp $(d,2f(d))$, không thể đồng thời có $p\mid d$ và $p\mid f(d)$, vì khi đó $p\mid d+2f(d)=3^k$, trái với $p\ne 3$. Khi $d$ đi qua tất cả các ước của $u$, cả $d$ và $f(d)$ đều xuất hiện trong tập này đúng 1 lần. Do đó
$$2\cdot \frac{v_p(u)}{v_p(u)+1}\tau (u)\le \tau (u),$$
suy ra $v_p(u)\le 1$. Từ đó $u$ là số square-free.
Dấu bằng xảy ra nên $(d,2f(d))$ có đúng một trong hai số chia hết cho $p$ nên buộc $f(d)=\frac{u}{d}$ với mọi $d\mid u$.
Cho $d=1$ và $d=u$ suy ra $1+2u$ và $u+2$ đều phải là lũy thừa của 3.
Đặt $1+2u=3^r$, $u+2=3^s$ với $r,s$ nguyên dương thì $3^r=2\cdot 3^s-3=3\left(2\cdot 3^{s-1}-1\right)$.
Nếu $s\ge 2$ thì $2\cdot 3^{s-1}-1$ không chia hết cho 3, do đó $s=1$ nên $u=1$, từ đó $m=2$ hay $n=3^a\cdot 2$ với mọi số tự nhiên $a$, thử lại bằng cách ghép cặp $(3^i,2\cdot 3^i)$ với $0\le i\le a$ thấy thỏa mãn.
Vậy tất cả số nguyên dương $n$ cần tìm là $n=3^a\cdot 2$ với $a$ tự nhiên.