Cho số phức $z=a+bi$, với $a,b$ là hai số thực thỏa mãn $a-2b=1$. Tính $|z|$ khi biểu thức $|z+1+4i|+|z-2-5i|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Điểm $M(a;b)$ thuộc đường thẳng $\Delta :x-2y-1=0$. Xét $A(-1;-4)$ và $B(2;5)$ nằm cùng phía đối với $\Delta$. Gọi $A^{\prime }(3;-12)$ là điểm đối xứng của $A$ qua $\Delta$? Thực ra $A(-1;-4)$ có $x-2y-1=6>0$, $B(2;5)$ có $2-10-1=-9<0$, nên $A,B$ nằm khác phía đối với $\Delta$. Do đó $MA+MB$ nhỏ nhất khi $M=AB\cap \Delta$. Đường thẳng $AB:3x-y-1=0$, giao với $\Delta$ tại $M\left(\frac{1}{5};-\frac{2}{5}\right)⟹|z|=\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{4}{25}}=\sqrt{\frac{1}{5}}$.