Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$, $D$ là điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng $CM$. Lấy $E$, $F$ lần lượt là hình chiếu của $B$, $C$ trên đường thẳng $AD$. Gọi $G$ là giao điểm của đường thẳng qua $E$ song song với $AB$ và đường thẳng qua $F$ song song với $AC$, $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $GEF$.

a) Chứng minh rằng $\widehat{OKD}=90^{\circ }$.

b) Gọi $N$ là trung điểm của $OA$. Chứng minh rằng $NM=NK$.

Lời giải (tương ứng Bài toán 0.4 - LMF - Hà Tĩnh TST 2025 - P4, trang 7):

(1) Ta sẽ chứng minh tứ giác $OKDM$ nội tiếp.

Vẽ hình bình hành $BECH$, khi đó $H$ nằm trên $CF$ và $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $EH$.

Lại có tam giác $EFH$ vuông tại $F$ nên $ME=MF=MH$.

Kết hợp với $KE=KF$ ta có $MK\perp EF$.

Ta có $\angle EKF=180^{\circ }-2\angle EGF=2\angle BAC=\angle BOC$ và $\frac{DB}{DC}=\frac{DE}{DF}$ do $BE\parallel CF$.

Vì thế $△OBC\cup \{D\}\sim △KEF\cup \{D\}$.

Do đó $\angle KDE=\angle ODB$ nên $\angle ODK=\angle ADB=\angle KMO$.

Vậy tứ giác $OMDK$ nội tiếp nên $\angle OKD=90^{\circ }$.

(2) (theo contextNotes tham chiếu trang 8, trang không được cung cấp trong phần dữ liệu này) Gọi $T$ là tâm của $(OMDK)$ thì $T$ là trung điểm của $OD$. Khi đó $NT\parallel AD$, mà $AD\perp MK$ nên $NT\perp MK$. Mà $TM=TK$ nên $NT$ là trung trực của $MK$ hay $NM=NK$.