Cho tam giác $ABC$ có $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$. Gọi $M$ là điểm nằm trên đoạn $BC$ sao cho $MC=2MB$ và $I$ là trung điểm của $AM$. Biết $IB$ vuông góc $IC$. Chứng minh $6b^2+3c^2=11a^2$.

Từ giả thiết $MC=2MB$, ta có: $MB=\frac{BC}{3}=\frac{a}{3};MC=\frac{2a}{3}$.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác, ta có:

+ Tam giác $ABC$, có: $\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$.

+ Tam giác $ABM$ có:

$A{M}^2=B{A}^2+B{M}^2-2.BA.BM.\cos B=c^2+{\left(\frac{a}{3}\right)}^2-2.c.\frac{a}{3}.\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

$\Rightarrow A{M}^2=\frac{6c^2+3b^2-2a^2}{9}$.



(0,5 điểm)

Áp dụng công thức đường trung tuyến, ta có:

+ $BI$ là trung tuyến của $AMB$ nên:
$$B{I}^2=\frac{2\left(B{A}^2+B{M}^2\right)-A{M}^2}{4}=\frac{2\left(c^2+\frac{a^2}{9}\right)-\frac{6c^2+3b^2-2a^2}{9}}{4}=\frac{4a^2-3b^2+12c^2}{36}.$$

+ $CI$ là trung tuyến của $AMC$ nên tương tự có $C{I}^2=\frac{10a^2+15b^2-6c^2}{36}$.

Do $IB\perp IC$ nên tam giác $IBC$ vuông tại $I$, ta có:
$$I{B}^2+I{C}^2=B{C}^2\Rightarrow \frac{4a^2+12c^2-3b^2}{36}+\frac{10a^2+15b^2-6c^2}{36}=a^2.$$
$$\iff 14a^2+12b^2+6c^2=36a^2\iff 12b^2+6c^2=22a^2\iff 6b^2+3c^2=11a^2\text{(đpcm)}.$$