Cho tam giác $ABC$ có $AB=5,AC=6,\widehat{BAC}=60^0$. Gọi $D$ là trung điểm của cạnh $BC$ và điểm $E$ thỏa mãn $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AC}$ $(k\in \mathbb{R})$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc A, trục Ox chứa B: A(0;0), B(5;0), C(3;3$\sqrt{3}$) vì AC=6, góc BAC=60°. a) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cos 60^0=25+36-30=31$ nên $BC=\sqrt{31}\ne \sqrt{46}$ → sai. b) D là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$ → đúng. c) D(4; $\frac{3\sqrt{3}}{2}$), E=k\overrightarrow{AC} nên E(3k; 3$\sqrt{3}$k). $\overrightarrow{AD}=(4;\frac{3\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{BE}=(3k-5;3\sqrt{3}k)$. Tích vô hướng: $4(3k-5)+\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 3\sqrt{3}k=12k-20+\frac{27}{2}k=\frac{51}{2}k-20=0\Rightarrow k=\frac{40}{51}$ → đúng. d) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 6\cdot \cos 60^0=15\ne 30$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=31$ nên $BC=\sqrt{31}\ne \sqrt{46}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì D là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$ (tính chất trung điểm).
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ A(0;0), B(5;0), C(3;3$\sqrt{3}$): D(4;$\frac{3\sqrt{3}}{2}$), E(3k;3$\sqrt{3}$k). $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{51}{2}k-20=0\Rightarrow k=\frac{40}{51}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 6\cdot \cos 60^0=15\ne 30$.