Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$. Biết $AB=3$; $BC=8$; $\cos \widehat{AMB}=\frac{5\sqrt{13}}{26}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có BM = MC = 4, AB = 3. Đặt AM = x, áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM: AB² = AM² + BM² − 2·AM·BM·cos∠AMB ⇒ 9 = x² + 16 − 8x·(5√13/26) ⇒ x² − (20√13/13)x + 7 = 0. Δ = 5200/169 − 28 = 468/169, √Δ = 6√13/13, nên x = √13 hoặc x = 7√13/13.

a) sin∠AMB = √(1 − 325/676) = 3√39/26. R = AB/(2sin∠AMB) = 3·26/(6√39) = 13/√39 = √39/3 ≈ 2,08 ≠ √2 ⇒ sai.

b) Vì B, M, C thẳng hàng nên ∠AMC = 180° − ∠AMB ⇒ cos∠AMC = −5√13/26 ⇒ sai.

c) AM = √13 hoặc 7√13/13 ⇒ đúng.

d) Với AM = √13: AC² = 13 + 16 − 2·√13·4·(−5√13/26) = 29 + 20 = 49 ⇒ AC = 7. Khi đó cos A = (AB² + AC² − BC²)/(2·AB·AC) = (9 + 49 − 64)/42 = −1/7 < 0, góc A tù, không thỏa 'A nhọn'. Với AM = 7√13/13: AC² = 49/13 + 16 + 140/13 = 397/13, cos A = (9 + 397/13 − 64)/(6√(397/13)) < 0, góc A cũng tù. Vậy không tồn tại trường hợp góc A nhọn và lớn nhất ⇒ d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = AB/(2sin∠AMB) với sin∠AMB = 3√39/26 nên R = 13/√39 = √39/3 ≈ 2,08 ≠ √2.
b) (AI giải đề cho tôi)
∠AMC = 180° − ∠AMB nên cos∠AMC = −5√13/26.
c) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin trong tam giác ABM cho phương trình AM² − (20√13/13)AM + 7 = 0, nghiệm AM = √13 hoặc AM = 7√13/13.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với AM = √13 thì AC = 7 nhưng cos A = (9+49−64)/42 = −1/7 < 0, góc A tù. Với AM = 7√13/13 thì AC² = 397/13 và cos A < 0, góc A cũng tù. Không có trường hợp góc A nhọn và lớn nhất.