Cho tam giác ABC, đặt $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$.

Chứng minh rằng: Nếu $a+b=2c$ thì tích $P=\tan \frac{A}{2}\cdot \tan \frac{B}{2}$ có giá trị không đổi.

Theo định lí sin, ta có $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$.

Trong tam giác $ABC$, do $C=\pi -(A+B)$ nên $\sin C=\sin (A+B)$.

Từ giả thiết $a+b=2c$, suy ra:

$$\sin A+\sin B=2\sin (A+B)$$

$$\iff 2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}=4\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A+B}{2}.$$

Vì $0<\frac{A+B}{2}<\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \frac{A+B}{2}\ne 0$, chia cả hai vế cho $2\sin \frac{A+B}{2}$ ta được:

$$\cos \frac{A-B}{2}=2\cos \frac{A+B}{2}$$

$$\iff \cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}+\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}=2\left(\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}-\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\right)$$

$$\iff 3\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}=\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}.$$

Chia cả hai vế cho $\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\ne 0$:

$$3\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}=1\iff P=\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}=\frac{1}{3}.$$

Vậy tích $P=\frac{1}{3}$ có giá trị không đổi.