Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng

a) $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=\vec{0}$.

b) $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}=\vec{0}$.

c) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$ với $O$ là điểm bất kì.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: Cho tam giác $ABC$, $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$.

a) Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$; vì $N$ là trung điểm $CA$ nên $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$; vì $P$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Do đó
$$\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\vec{0}=\vec{0}.$$

b) Ta có $\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CN}$ (hiệu hai vectơ cùng điểm đầu $A$, hoặc vì $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$). Theo câu a), $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{CN}$. Khi đó
$$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}=\left(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}\right)=-\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{CN}=\vec{0}.$$

Cách trình bày trực tiếp: $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$, nên tổng bằng $\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)=\vec{0}$.

c) Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên với mọi điểm $O$: $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$. Tương tự, $\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}\right)$ và $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$. Cộng vế theo vế:
$$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\left(2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$
Vậy đẳng thức được chứng minh với mọi điểm $O$.