Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $AB\cdot AC=24$ và $\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}=\sin A$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Diện tích tam giác $BMG$ bằng ?

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết $\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}=\sin A$. Ta có $\sin B+\sin C=2\sin \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}=2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B-C}{2}$ và $\cos B+\cos C=2\cos \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{B-C}{2}$. Vậy tỉ số bằng $\cot \frac{A}{2}=\sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}$, suy ra ${\sin }^2\frac{A}{2}=\frac{1}{2}$, tức $\frac{A}{2}=45^{\circ }$ nên $A=90^{\circ }$. Theo nguồn (mã đề 1012), giả thiết là $AB\cdot AC=24$ (tích độ dài hai cạnh). Diện tích tam giác $ABC$ là $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 24=12$. Gọi $h$ là đường cao từ $A$ xuống $BC$; $M$ là trung điểm $BC$ nên $BM=\frac{BC}{2}$, và $G$ là trọng tâm nên khoảng cách từ $G$ đến $BC$ bằng $\frac{h}{3}$. Do đó $S_{BMG}=\frac{1}{2}\cdot \frac{BC}{2}\cdot \frac{h}{3}=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}BC\cdot h=\frac{S_{ABC}}{6}=\frac{12}{6}=2$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1012, câu 9: A).