Cho tam giác $ABC$ thoả mãn $b+c=2a$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, nên $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$. Thay vào giả thiết $b+c=2a$: $2R\sin B+2R\sin C=2\cdot 2R\sin A$, suy ra $\sin B+\sin C=2\sin A$. Vậy mệnh đề đúng là B.

Kiểm tra các phương án còn lại bằng ví dụ tam giác đều $a=b=c$ (thỏa $b+c=2a$):
- Phương án A: $\cos B+\cos C=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ trong khi $2\cos A=2\cdot \frac{1}{2}=1$ — với tam giác đều A thỏa mãn, nhưng xét ví dụ khác $a=2,b=3,c=1$ (thỏa $b+c=4=2a$): $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{4+1-9}{4}=-1$, $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4+9-1}{12}=1$, nên $\cos B+\cos C=0$; còn $2\cos A=2\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=2\cdot \frac{9+1-4}{6}=2\ne 0$. Vậy A không luôn đúng (lưu ý ví dụ $a=2,b=3,c=1$ thực chất là tam giác suy biến vì $b=a+c$, nên xét ví dụ $a=2,b=\frac{5}{2},c=\frac{3}{2}$ thỏa $b+c=4=2a$: $\cos B=\frac{4+2.25-6.25}{6}=0$, $\cos C=\frac{4+6.25-2.25}{10}=0.8$, $\cos B+\cos C=0.8$; $2\cos A=2\cdot \frac{6.25+2.25-4}{15}=2\cdot \frac{4.5}{15}=0.6\ne 0.8$, vậy A sai).
- Phương án C: $\sin B+\sin C=2\sin A\ne \frac{1}{2}\sin A$ vì $\sin A>0$, nên C sai.
- Phương án D: với tam giác đều $\sin B+\cos C=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\ne 2\sin A=\sqrt{3}$, nên D sai.

Kết luận: chỉ phương án B luôn đúng.