Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $BC$ và hợp với mặt phẳng $(ABC)$ góc $\alpha$ ($0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$). Gọi $\beta ,\gamma$ lần lượt là góc hợp bởi hai đường thẳng $AB,AC$ và $(P)$. Tính giá trị biểu thức $T={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma$.

Chọn D.
Kẻ $AH\perp (P)$ tại $H$. Khi đó:
- Hình chiếu của $AB$ lên $(P)$ là $HB$, nên góc giữa $AB$ và $(P)$ là $\beta =\widehat{ABH}$, suy ra $\sin \beta =\frac{AH}{AB}$.
- Hình chiếu của $AC$ lên $(P)$ là $HC$, nên góc giữa $AC$ và $(P)$ là $\gamma =\widehat{ACH}$, suy ra $\sin \gamma =\frac{AH}{AC}$.
Kẻ $AK\perp BC$ tại $K$. Vì $AH\perp (P)$ và $BC\subset (P)$ nên $BC\perp AH$.
Suy ra $BC\perp (AHK)\Rightarrow BC\perp HK$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(P)$ chính là góc giữa $AK$ và $HK$, tức là $\alpha =\widehat{AKH}$.
Trong tam giác vuông $AHK$ vuông tại $H$, ta có:
$\sin \alpha =\frac{AH}{AK}\Rightarrow {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{A{H}^2}{A{K}^2}$.
Mặt khác, trong tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ với đường cao $AK$:
$\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$.
Do đó:
${\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =\frac{A{H}^2}{A{B}^2}+\frac{A{H}^2}{A{C}^2}=A{H}^2\left(\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}\right)=\frac{A{H}^2}{A{K}^2}={\sin }^2\alpha$.
Vậy giá trị của biểu thức $T$ là:
$T={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma ={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$.