Trong mặt phẳng $(P)$ cho đường tròn $(C)$ tâm $O$, đường kính $AB=4$. Gọi $H$ là điểm đối xứng của $O$ qua $A$. Lấy điểm $S$ sao cho $SH\perp (P)$ và $SH=4$. Tính diện tích mặt cầu đi qua đường tròn $(C)$ và điểm $S$.

Chọn C.
Đường tròn $(C)$ có tâm $O$ và bán kính $r=\frac{AB}{2}=2$.
$H$ đối xứng với $O$ qua $A$ nên $A$ là trung điểm $OH$, suy ra $OH=2OA=2\cdot 2=4$.
Mặt cầu $(S_0)$ đi qua đường tròn $(C)$ nên tâm $I$ của mặt cầu phải nằm trên trục của đường tròn $(C)$ (đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$).
Do đó $OI\perp (P)$.
Mặt khác theo giả thiết $SH\perp (P)$ nên $OI\parallel SH$.
Trong mặt phẳng $(SH,OI)$ chứa $H,O,S,I$:
Kẻ $IK\perp SH$ tại $K$, ta có tứ giác $OIKH$ là hình chữ nhật (vì $\widehat{IOH}=\widehat{IKH}=\widehat{SHO}=90^{\circ }$).
Đặt $OI=x$ ($x>0$), ta có $HK=OI=x$ và $IK=OH=4$.
Vì $SH=4$ nên $SK=|SH-HK|=|4-x|$.
Bán kính mặt cầu $R$ thỏa mãn:
- Với điểm thuộc $(C)$: $R^2=I{A}^2=O{I}^2+O{A}^2=x^2+2^2=x^2+4$.
- Với điểm $S$: $R^2=I{S}^2=I{K}^2+S{K}^2=4^2+(4-x{)}^2=16+(x-4{)}^2$.
Do đó ta có phương trình:
$x^2+4=16+x^2-8x+16\iff 8x=28\iff x=\frac{28}{8}=\frac{7}{2}$.
Bán kính mặt cầu là:
$R^2={\left(\frac{7}{2}\right)}^2+4=\frac{49}{4}+4=\frac{65}{4}$.
Diện tích mặt cầu là:
$S=4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{65}{4}=65\pi$.