Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=\widehat{BCD}=90^{\circ }$, $BC=2a,CD=a$, góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(BCD)$ bằng $60^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD$.

[IMAGE_1]

Dựng $E$ là hình chiếu của $A$ lên $(BCD)$. Khi đó $BC\perp AE,BC\perp AB\Rightarrow BC\perp EB$.

Chứng minh tương tự có $ED\perp CD$, suy ra $BCDE$ là hình chữ nhật.

Góc giữa $AB$ và $(BCD)$ chính là góc $\widehat{ABE}$, do đó $\widehat{ABE}=60^{\circ }$.

Tam giác $ABE$ vuông tại $E$ có $AE=BE\cdot \tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}$.

Gọi $O,A^{\prime }$ lần lượt là trung điểm $EC$ và $AE$. Khi đó $d(BD,AC)=d(A,(A^{\prime }BD))=d(E,(A^{\prime }BD))=EH$ ($H$ là hình chiếu của $E$ lên $(A^{\prime }BD)$).

$\frac{1}{E{H}^2}=\frac{1}{E{B}^2}+\frac{1}{E{D}^2}+\frac{1}{E{A}^{\prime 2}}=\frac{31}{12a^2}\Rightarrow d(AC,BD)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{31}}$.