Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}=90^{\circ }$, $BC=CD=a$, $AD=a\sqrt{2}$. Số đo góc phẳng nhị diện $[B,AC,D]$ là $m^{\circ }$. Tính $2m$.

Chọn hệ trục tọa độ vuông góc tại $C(0;0;0)$ sao cho $B(a;0;0),D(0;a;0)$. Vì $AB\perp BC$ và $AD\perp CD$ với $AD=a\sqrt{2}$ nên $A(a;a;a)$.
Hình chiếu vuông góc của $B$ và $D$ lên đường thẳng $AC$ trùng nhau tại $H\left(\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3}\right)$.
Khi đó $\overrightarrow{HB}=\frac{a}{3}(2;-1;-1),\overrightarrow{HD}=\frac{a}{3}(-1;2;-1)\Rightarrow \cos \widehat{BHD}=\frac{-2-2+1}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow m=120\Rightarrow 2m=240$. Đáp án: 240.