Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G_1$ và $G_2$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $ABD$ và $ACD$. Chứng minh $G_1{G}_2$ song song với các mặt phẳng $(ABC)$ và $(BCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Trong tam giác $ABD$, $G_1$ là trọng tâm nên $M{G}_1=\frac{1}{3}MB$ (với $M$ nằm trên trung tuyến $MB$), tức $\overrightarrow{M{G}_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}$. Trong tam giác $ACD$, $G_2$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{M{G}_2}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MC}$. Suy ra $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\overrightarrow{M{G}_2}-\overrightarrow{M{G}_1}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Vậy $G_1{G}_2\parallel BC$.

Xét mặt phẳng $(ABC)$: đường thẳng $BC\subset (ABC)$ và $G_1\notin (ABC)$ (vì $G_1$ nằm trong tam giác $ABD$, không thuộc mặt phẳng $(ABC)$ do tứ diện không phẳng). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $G_1{G}_2\parallel (ABC)$.

Xét mặt phẳng $(BCD)$: đường thẳng $BC\subset (BCD)$ và $G_1\notin (BCD)$ (vì $G_1$ thuộc mặt phẳng $(ABD)$, mà $(ABD)$ cắt $(BCD)$ theo giao tuyến $BD$ và $G_1$ không nằm trên $BD$). Suy ra $G_1{G}_2\parallel (BCD)$.

Vậy $G_1{G}_2$ song song với cả hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(BCD)$. Đpcm.