Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh $AB$ và $CD$. Đặt $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $MN$ và song song với $BC$. Tìm giao tuyến của $(\alpha )$ với các mặt của tứ diện $ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
Cách dựng: Trong mặt phẳng (ABC), qua M vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại P. Vì (α) chứa M và (α) ∥ BC nên giao tuyến của (α) với mặt (ABC) là đường thẳng qua M song song BC, tức MP. Tương tự, trong mặt phẳng (BCD), qua N vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD tại Q; đó là giao tuyến của (α) với mặt (BCD). Khi đó: (α) ∩ (ABC) = MP (MP ∥ BC); (α) ∩ (BCD) = NQ (NQ ∥ BC); (α) ∩ (ABD) = MQ vì M ∈ AB, Q ∈ BD đều thuộc (ABD) và thuộc (α); (α) ∩ (ACD) = NP vì N ∈ CD, P ∈ AC đều thuộc (ACD) và thuộc (α). Vậy thiết diện của (α) với tứ diện là tứ giác MPNQ (với MP ∥ NQ cùng song song BC). Lưu ý: nếu M trùng A hoặc N trùng D... thì một số cạnh của tứ giác suy biến thành tam giác, nhưng với M, N là điểm bất kỳ trong lòng hai cạnh, kết quả là tứ giác MPNQ.