Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm của trung tuyến $AK$ của tam giác $ABC$. Từ $I$ kẻ các đường thẳng song song với $DC,DB$ cắt các mặt phẳng $(ABD),(ADC)$ lần lượt tại $N,M$. Biết $DB\cdot DC=80a^2(a\ne 0)$. Diện tích lớn nhất của $△IMN$ là:

Trong tứ diện $ABCD$, gọi $K$ là trung điểm $BC$, $I$ là trung điểm $AK$.
Vì $IM\parallel DB$ và $M\in (ADC)$ nên $M$ thuộc đoạn nối từ đỉnh của các thiết diện qua trung điểm, với tỉ số $\frac{IM}{DB}=\frac{1}{4}$.
Tương tự, $IN\parallel DC$ và $N\in (ABD)$ với tỉ số $\frac{IN}{DC}=\frac{1}{4}$.
Do đó $IM=\frac{1}{4}DB$ và $IN=\frac{1}{4}DC$.
Góc $\widehat{MIN}=\widehat{BDC}$ (hoặc $180^{\circ }-\widehat{BDC}$).
Diện tích tam giác $IMN$ là:
$S_{△IMN}=\frac{1}{2}IM\cdot IN\cdot \sin \widehat{MIN}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}DB\cdot \frac{1}{4}DC\cdot \sin \widehat{MIN}=\frac{1}{32}DB\cdot DC\cdot \sin \widehat{MIN}$.
Vì $\sin \widehat{MIN}\le 1$, diện tích lớn nhất đạt được khi $\sin \widehat{MIN}=1$:
$S_{\max }=\frac{1}{32}\cdot 80a^2\cdot 1=\frac{5}{2}{a}^2$. Chọn C.