Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$, $N$ là điểm thuộc cạnh $AC$ sao cho $MN$ không song song với $BC$. Gọi $P$ là điểm nằm trong $△BCD$. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) $(MNP),(ABC)$ b) $(MNP),(BCD)$ c) $(MNP),(ABD)$ d) $(MNP),(ACD)$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $Q=MN\cap BC$ (tồn tại vì $M\in AB$, $N\in AC$ nên $MN$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, và $MN$ không song song với $BC$ nên chúng cắt nhau tại $Q$). Vì $Q\in MN\subset (MNP)$ và $Q\in BC\subset (BCD)$ nên $Q$ thuộc cả hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(BCD)$.

a) Vì $M\in AB\subset (ABC)$ và $N\in AC\subset (ABC)$ nên đường thẳng $MN$ nằm trong $(ABC)$; đồng thời $MN\subset (MNP)$. Vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $MN$.

b) Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(BCD)$ cùng chứa điểm $Q$. Lấy $P$ (thuộc $△BCD$, tức $P\in (BCD)$, và $P\in (MNP)$). Hai mặt phẳng này không trùng nhau (vì $M\notin (BCD)$), nên giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung $P$ và $Q$. Vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $PQ$.

c) Trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $PQ$ cắt cạnh $BD$ tại $I$ (nếu $PQ\parallel BD$ thì lấy giao điểm của $PM$ với $BD$; trường hợp tổng quát $I=PQ\cap BD$). Khi đó $I\in BD\subset (ABD)$ và $I\in PQ\subset (MNP)$. Mặt khác $M\in AB\subset (ABD)$ và $M\in (MNP)$. Vậy $(MNP)$ và $(ABD)$ có hai điểm chung $M$ và $I$, giao tuyến là đường thẳng $MI$.

d) Trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $PQ$ cắt cạnh $CD$ tại $J$ ($J=PQ\cap CD$). Khi đó $J\in CD\subset (ACD)$ và $J\in PQ\subset (MNP)$. Mặt khác $N\in AC\subset (ACD)$ và $N\in (MNP)$. Vậy $(MNP)$ và $(ACD)$ có hai điểm chung $N$ và $J$, giao tuyến là đường thẳng $NJ$.

Tóm tắt: a) $MN$; b) $PQ$ với $Q=MN\cap BC$; c) $MI$ với $I=PQ\cap BD$; d) $NJ$ với $J=PQ\cap CD$.