Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$. Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,C,D$ không cùng nằm trong một mặt phẳng.

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử phản chứng: giả sử bốn điểm $M,N,C,D$ cùng nằm trong một mặt phẳng $(\alpha )$. Vì $M,N$ là trung điểm của $AB,BC$ nên $M,N$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$, do đó $MN$ là đường thẳng nằm trong $(ABC)$. Mặt khác $M,N\in (\alpha )$ nên $MN\subset (\alpha )$. Trong tam giác $ABC$, đường trung bình $MN$ song song với $AC$, tức $MN\parallel AC$. Vì $MN\subset (\alpha )$, $AC\not\subset (\alpha )$ (nếu $AC\subset (\alpha )$ thì $A\in (\alpha )$, khi đó $(\alpha )$ chứa $A,C,D$ và $M$... dẫn tới $(\alpha )=(ACD)$, mâu thuẫn vì $B$ không thuộc $(ACD)$). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, từ $MN\parallel AC$ và $AC\subset (ACD)$ suy ra $MN\parallel (ACD)$. Nhưng $M\in (\alpha )$ và $MN\subset (\alpha )$, tức $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua $MN$; mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $D$ và chứa đường thẳng $MN$ song song với $(ACD)$, trong khi $(\alpha )$ cũng chứa $C\in (ACD)$ — mâu thuẫn vì một mặt phẳng đi qua $MN$ song song với $(ACD)$ thì không thể cắt $(ACD)$ tại $C$. Cách trình bày gọn hơn: giả sử $M,N,C,D$ đồng phẳng trong $(\alpha )$. Khi đó $C\in (\alpha )$ và $MN\subset (\alpha )$. Vì $MN\parallel AC$ (đường trung bình tam giác $ABC$) nên giao tuyến của $(\alpha )$ với $(ABC)$ là đường thẳng qua $C$ và song song với $MN$, tức là đường thẳng qua $C$ song song với $AC$, đó chính là đường thẳng $AC$. Suy ra $A\in (\alpha )$. Vậy $(\alpha )$ chứa bốn điểm $A,B$ (vì $M,N\in (\alpha )$ nên đường thẳng $MN$... thực ra từ $A,C,M\in (\alpha )$, ba điểm không thẳng hàng, suy ra $(\alpha )=(ACM)=(ABC)$). Do đó $D\in (ABC)$, mâu thuẫn với giả thiết $ABCD$ là tứ diện (bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng). Vậy giả sử sai, tức bốn điểm $M,N,C,D$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. $■$