Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên cạnh $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP=2DP$. Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(MNP)$. Tính $\frac{FD}{FA}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0),B(1;0;0),C(0;1;0),D(0;0;1)$. Khi đó $M(0;\frac{1}{2};0)$, $N(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$, và vì $BP=2DP$ nên $P$ chia $BD$ theo tỉ số $\frac{BP}{BD}=\frac{2}{3}$, tức $P(\frac{1}{3};0;\frac{2}{3})$. Điểm $F$ nằm trên $AD$ nên $F=(0;0;t)$. Vectơ pháp tuyến của $(MNP)$: $\overrightarrow{MN}=(\frac{1}{2};0;0)$, $\overrightarrow{MP}=(\frac{1}{3};-\frac{1}{2};\frac{2}{3})$, nên $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}=(0;-\frac{1}{3};-\frac{1}{4})$. Mặt phẳng qua $M$: $-\frac{1}{3}(y-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}z=0$, tức $-\frac{1}{3}y-\frac{1}{4}z=-\frac{1}{6}$. Thay $F(0;0;t)$: $-\frac{t}{4}=-\frac{1}{6}\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $F$ nằm giữa $A$ và $D$ với $FD=\frac{1}{3}$, $FA=\frac{2}{3}$, suy ra $\frac{FD}{FA}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}=0,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,5$ (bảng đáp án mã đề 112, câu 16).