Cho tứ diện $S.ABC$ có các cạnh $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc và $SA=SB=SC=1$. Gọi $\alpha$ là góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$. Tính $\cos \alpha$.

Gọi $D$ là trung điểm cạnh $BC$. Vì tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$ nên $SD\perp BC$ và $SD=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Mặt khác $SA\perp (SBC)\Rightarrow SA\perp BC$, suy ra $BC\perp (SAD)\Rightarrow AD\perp BC$.
Do đó góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là $\alpha =\widehat{SDA}$.
Trong tam giác $SAD$ vuông tại $S$: $AD=\sqrt{S{A}^2+S{D}^2}=\sqrt{1+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
Vậy $\cos \alpha =\frac{SD}{AD}=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{6}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.