Cho tứ giác lồi $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $O$. Gọi điểm $H$, $K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $ABO$ và $CDO$. Gọi điểm $I,J$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AD$ và $BC$. Chứng minh rằng $HK\perp JI$.

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh bằng phương pháp tọa độ vectơ, gốc tại O. Đặt $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c},\overrightarrow{OD}=\vec{d}$. Vì $A,O,C$ thẳng hàng và $B,O,D$ thẳng hàng (O nằm giữa do tứ giác lồi), tồn tại $\lambda ,\mu >0$ sao cho $\vec{c}=-\lambda \vec{a},\vec{d}=-\mu \vec{b}$; suy ra $\vec{c}\cdot \vec{d}=\lambda \mu (\vec{a}\cdot \vec{b})$.

Gọi $\vec{h}=\overrightarrow{OH},\vec{k}=\overrightarrow{OK}$. Vì $H$ là trực tâm tam giác $ABO$ (có đỉnh $O$ là gốc): $AH\perp OB$ và $BH\perp OA$ nên
$$(\vec{h}-\vec{a})\cdot \vec{b}=0\Rightarrow \vec{h}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{b};(\vec{h}-\vec{b})\cdot \vec{a}=0\Rightarrow \vec{h}\cdot \vec{a}=\vec{a}\cdot \vec{b}.$$
Tương tự, $K$ trực tâm tam giác $CDO$:
$$\vec{k}\cdot \vec{d}=\vec{c}\cdot \vec{d},\vec{k}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{d}.$$

Ta có $I$ trung điểm $AD$, $J$ trung điểm $BC$ nên
$$\overrightarrow{JI}=\overrightarrow{OI}-\overrightarrow{OJ}=\frac{\vec{a}+\vec{d}-\vec{b}-\vec{c}}{2}.$$
Tính $\overrightarrow{HK}\cdot \overrightarrow{JI}=\frac{1}{2}(\vec{k}-\vec{h})\cdot (\vec{a}+\vec{d}-\vec{b}-\vec{c})$, khai triển 4 tích:
- $(\vec{k}-\vec{h})\cdot \vec{a}=\vec{k}\cdot \vec{a}-\vec{h}\cdot \vec{a}=-\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\lambda }-\vec{a}\cdot \vec{b}$ (vì $\vec{a}=-\vec{c}/\lambda$);
- $(\vec{k}-\vec{h})\cdot \vec{d}=\vec{c}\cdot \vec{d}-\vec{h}\cdot \vec{d}=\vec{c}\cdot \vec{d}+\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\lambda }$ (vì $\vec{h}\cdot \vec{d}=-\mu \vec{h}\cdot \vec{b}=-\mu \vec{a}\cdot \vec{b}=-\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\lambda }$);
- $(\vec{k}-\vec{h})\cdot \vec{b}=-\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\mu }-\vec{a}\cdot \vec{b}$ (vì $\vec{k}\cdot \vec{b}=-\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\mu }$);
- $(\vec{k}-\vec{h})\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{d}-\vec{h}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{d}+\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\mu }$ (vì $\vec{h}\cdot \vec{c}=-\lambda \vec{a}\cdot \vec{b}=-\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\mu }$).

Cộng lại:
$$(\vec{k}-\vec{h})\cdot (\vec{a}+\vec{d}-\vec{b}-\vec{c})=\left(-\frac{cd}{\lambda }-ab\right)+\left(cd+\frac{cd}{\lambda }\right)+\left(\frac{cd}{\mu }+ab\right)-\left(cd+\frac{cd}{\mu }\right)=0,$$
(trong đó $cd=\vec{c}\cdot \vec{d},ab=\vec{a}\cdot \vec{b}$; mọi số hạng đều triệt tiêu).

Vậy $\overrightarrow{HK}\cdot \overrightarrow{JI}=0$, tức là $HK\perp JI$. $■$