Cho $\sin x=\frac{1}{5},\frac{\pi }{2}<x<\pi$. Tính $\cot 2x$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 16: Cho $\sin x=\frac{1}{5}$ với $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ (góc ở góc phần hai), nên $\cos x<0$.

Ta có:
$$\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{1}{25}}=-\sqrt{\frac{24}{25}}=-\frac{2\sqrt{6}}{5}.$$

Tính $\cos 2x$ và $\sin 2x$:
$$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-\frac{2}{25}=\frac{23}{25},$$
$$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \frac{1}{5}\cdot \left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)=-\frac{4\sqrt{6}}{25}.$$

Do đó:
$$\cot 2x=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{23/25}{-4\sqrt{6}/25}=-\frac{23}{4\sqrt{6}}=-\frac{23\sqrt{6}}{24}.$$

Vậy $\cot 2x=-\frac{23\sqrt{6}}{24}$. Kết quả này trùng với lời giải AI được cung cấp.